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 SOBRE A DEFICIÊNCIA VISUAL

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O Sorobã para Todos

Gildo Soares da Silva

Mesa de calcular | Xilogravura do livro Margarita Philosophica - por Gregor Reisch of Freiburg, publicado em 1503
Boécio e Pitágoras numa competição matemática. | Xilogravura retirada do livro 'Margarita Philosophica' - Gregor Reisch of Freiburg, 1503
 
Prefácio
Capítulo 1 - Introdução
Capítulo 2 - Conhecimento do Sorobã
Capítulo 3 - Escrita de Números no Sorobã
Capítulo 4 - Adição - Inteiros e Decimais
Capítulo 5 - Subtração - Inteiros e Decimais
Capítulo 6 - Multiplicação - Inteiros e Decimais
Capítulo 7 - Divisão - Inteiros e Decimais
Capítulo 8 - Fatoração
Capítulo 9 - Máximo Divisor Comum
Capítulo 10 - Mínimo Múltiplo Comum
Capítulo 11 - Numeração Fracionária
Capítulo 12 - Adição de Frações
Capítulo 13 - Subtração de Frações
Capítulo 14 - Multiplicação de Frações
Capítulo 15 - Divisão de Frações
Capítulo 16 - Potenciação
Capítulo 17 - Radiciação - 1ª Parte - Noções Básicas
Capítulo 18 - Radiciação - 2ª Parte - Cálculo da Raiz quadrada - Inteiros e Decimais
Capítulo 19 - Radiciação - 3ª Parte - Cálculo da Raiz Cúbica - Inteiros e Decimais
Capítulo 20 - Razões e Proporções
Capítulo 21 - Regra de Três
Capítulo 22 - Porcentagem
Capítulo 23 - Juros
Capítulo 24 - Importância do Sistema Sorobã na Estimulação Psicomotora
Capítulo 25 - Metodologia do Ensino de Sorobã
Bibliografia consultada


PREFÁCIO

Convidada a prefaciar "O Sorobã para Todos", passei a rememorar os tempos de minha infância, quando as operações aritméticas eram ensinadas na escola sem demonstração concreta do processo. Aprendia-se os "dogmas" da Matemática sem oportunidade de estabelecer relações entre os elementos em estudo. A experiência de quarenta e dois anos em sala de aula, levou-me a entender que as maiores dificuldades no aprendizado da Matemática vêm da maneira como ela é apresentada ao aluno nos primeiros anos de escola.

Quando iniciei o trabalho em Educação Especial, na área da deficiência visual, é que conheci o sorobã. Obtive com ele bons resultados. Sobre sua utilização, o Prof. Gildo nos dá valiosas contribuições, como por exemplo, quando afirma que, antes de iniciar o ensino das técnicas de cálculo, é importante fazer-se uma sondagem do potencial perceptivo e cognitivo do aluno,trabalhando-se as noções de direita, esquerda, acima, abaixo, etc. Será preciso corrigir as deficiências que houverem, e só então, iniciar a utilização do sorobã como aparelho de cálculo. Com o sorobã, temos condições de levar o sistema de numeração para um campo dentro da realidade e percepção, seja da criança ou do adulto, com ou sem deficiência, mas principalmente da criança deficiente visual, que passará a ler as continhas com as duas mãos, utilizando-se de algo concreto e não apenas da idéia abstrata de quantidade.

Concordo plenamente com o autor, quando apresenta o sorobã também como instrumento de estimulação psicomotora independentemente da idade, como está no capítulo 24. O desenvolvimento psicomotor está sempre a exigir estimulação constante, com exercícios variados em resolução de situações problemáticas, impostas a crianças e adultos, atuando-se de acordo com as necessidades de cada caso, levando-se em consideração a fase de desenvolvimento de cada indivíduo.

É preciso saber utilizar-se do sorobã, observando bem suas técnicas e cuidados como os citados neste livro, para obter-se bons resultados e, assim, poder-se comprovar as vantagens deste sistema, sabendo-se que, quem opera o sorobã sabe realmente o que está fazendo, sem condicionamento às conveniências de aparelhos programados como as calculadoras eletrônicas.

Parabéns, Prof. Gildo.
Como ex-Professora da Escola Especial Instituto de Cegos, em Recife, agradece
Nilza Pessôa


CAPÍTULO 1

INTRODUÇÃO

Reconhecemos no sorobã, o melhor aparelho de cálculo até agora utilizado pelos cegos. Em nossa experiência de ensino no Instituto de Cegos da Santa Casa de Misericórdia do Recife, e nos cursos de especialização e de reciclagem em que participamos, lecionando "Técnicas de Cálculo no Sorobã", em Pernambuco e Estados vizinhos, tivemos oportunidade de observar que, as dificuldades de algumas pessoas, estavam mais relacionadas a questões de embasamento teórico e prático de aritmética e a questões de metodologia do ensino em geral, do que às técnicas do sorobã, propriamente ditas.

A grande facilidade de cálculo que este aparelho apresenta, leva-nos a afirmar que, até os analfabetos podem aprender a ler e escrever números no sorobã e chegar a efetuar algumas operações aritméticas menos complexas, sem aprenderem a escrita em tinta ou em Braille.

Na primeira metade da década de 50, graças a um desenho do alfabeto em pontos por nós encontrado numa das lições do 2º Livro da Série "Pátria Brasileira", do Prof. Renato Sêneca Fleury, Edições Melhoramentos, que apresentava as letras do Braille de "a" até "z", e subseqüente correspondência nossa com o Ilustre Dr. Custódio Batista de Castro, então diretor do Instituto São Rafael, de Belo Horizonte, aprendemos o Sistema Braille. A seguir, conseguimos junto à Fundação para o Livro do Cego no Brasil, reglete, sorobã e livros em Braille, entre os quais o "Sorobã - Aparelho de Cálculo para Cegos", do Sr. Joaquim Lima de Moraes. Lendo este livro, aprendemos a calcular no sorobã. Também fomos beneficiados pelo Instituto Benjamin Constant, que sempre nos mandou livros em Braille de várias matérias.

Ao chegar no Instituto de Cegos da Santa Casa de Misericórdia do Recife, em 1957, onde ingressamos para estudar, conhecemos a chapa e o cubaritmo. O operador da chapa utilizava uma coleção de tipos metálicos, contendo os algarismos em relevo, na forma comum. Durante os trabalhos de cálculo, o operador fazia muitas buscas nos tipos, para localizar os algarismos necessários ao cálculo, o que tornava a operação por demais morosa. O operador do cubaritmo utilizava uma coleção de cubos de um centímetro, aproximadamente. Cada face dos cubos levava um algarismo em Braille. Numa das faces, havia um traço para simbolizar sinais de operação. O operador fazia menos buscas do que na chapa, porque qualquer cubo que apanhasse continha o algarismo desejado. Por isso, o cálculo no cubaritmo é menos moroso do que na chapa, contando porém, com o inconveniente de, às vezes, os cubos virarem facilmente, inutilizando a operação.

O sorobã, como aparelho de cálculo de grande rapidez e sem os inconvenientes da chapa e do cubaritmo, serve muito mais aos cegos, tanto na vida escolar quanto na vida quotidiana. À nossa chegada em Recife, somente um aluno do Instituto utilizava a chapa. Os demais usavam o cubaritmo.

Portanto, tivemos a honra de introduzir o sorobã no Instituto de Cegos de Pernambuco em 1957, onde, ao início da década de 70, o cubaritmo já estava definitivamente substituído. Os professores especializados da rede pública, que começaram atender aos cegos do Instituto na década de 60, iniciaram o seu trabalho utilizando o cubaritmo mas, a seguir, adotaram o sorobã pois, aprenderam suficientemente o novo sistema de cálculo para os programas que ministravam.

Atualmente, observamos a necessidade de redinamização do ensino de sorobã, de novos incentivos e mais divulgação deste sistema de cálculo. Temos encontrado alunos que perderam a visão depois de alguns anos de escolaridade e, procurando o ensino especial, aprenderam só o Braille e continuam os estudos calculando apenas mentalmente. Mesmo entre os que estudam o sorobã, o grau de aproveitamento nem sempre tem atingido os níveis desejados. A assimilação satisfatória do Sistema Sorobã, como acontece com os outros conhecimentos, depende também do estímulo à vontade de aprender.

A demonstração objetiva do valor do sorobã e a instituição de concursos sorobã pela escola, com a finalidade de despertar nos alunos maior interesse por este sistema de cálculo,bem como outros eventos similares, certamente virão ao encontro desta necessidade. Outrossim, é necessário ensinar o sorobã com entusiasmo e segurança, para que os alunos possam aprender também com entusiasmo e segurança. Importa que o livro de sorobã esteja sempre ao alcance do professor, para que ele possa dirimir suas dúvidas, sem necessidade de ficar esperando por reciclagem que, muitas vezes, não conta com tempo suficiente. Sugerimos que, pelo menos, as escolas especiais reservem tempo, para Reuniões Ordinárias de Estudos do Sorobã. Nestas reuniões, os professores que têm maior facilidade na compreensão da Matemática, poderão ajudar aqueles de menor facilidade e, assim, os alunos serão melhor beneficiados. No nosso entendimento, os professores de educação básica do deficiente visual, devem estar tão capacitados no Sistema Sorobã quanto no Sistema Braille.

Ao publicar este livro, o fazemos na esperança de que as pessoas interessadas possam aprender e praticar o cálculo sorobã com facilidade. Por isso, nos exemplos de cálculo, apresentamos exercícios fáceis, por acreditar que estes devem constituir o primeiro degrau de uma boa aprendizagem. Pensamos que essas pessoas interessadas não são apenas os cegos, mas também os professores especializados da área, cegos ou não, e os próprios familiares e amigos dos cegos que assumem a louvável missão de ajudá-los em seus estudos, enfim, pessoas portadoras de outras deficiências e pessoas sem deficiência, levando-se em consideração, inclusive, a importância do Sistema Sorobã para a estimulação psicomotora.

Em "O Sorobã para Todos", temos estes objetivos:

  1. Facilitar os processos de aprendizagem e de ensino do sorobã a todas as pessoas, deficientes e não deficientes.
  2. Incentivar a utilização do sorobã também como instrumento de estimulação psicomotora.
  3. Incentivar a valorização do Sistema Sorobã, em igualdade de importância com o Sistema Braille, especialmente na educação básica do deficiente visual.

Todos, deficientes e não deficientes, em qualquer idade, podem ser beneficiados pelo Sistema Sorobã. Pelo fato de estimular a coordenação motora e a atuação mental, a Prática Sorobã constitui atividade pedagógica de grande importância no processo educativo da criança, e é considerada ação minimizadora dos efeitos da esclerose no adulto.

O sorobã não é uma calculadora eletrônica. Esta, mediante comandos recebidos de seu operador, elabora as operações, porque está programada para isto. O sorobã, na simplicidade de seu mecanismo, independente de circuito elétrico, permite grande rapidez no cálculo, mas não elabora as operações mediante comandos. Apenas possibilita que seu operador elabore conscientemente, seguindo as técnicas de cálculo previamente aprendidas. É preciso pois, aprender as técnicas de cálculo (e não simples comandos), para calcular no sorobã. Desse modo, o estudo e a prática do Cálculo Sorobã contribuem para o desenvolvimento intelectual e subseqüente aprimoramento da aprendizagem. O sorobã, portanto, pode ser conduzido à banca de exames, inclusive nos concursos, sem ferir a Ética.

Os capítulos que tratam dos cálculos apresentados neste livro, foram estruturados em duas partes: "Preliminares" e "Prática do Cálculo". Nos Preliminares, pretendemos promover a memorização de noções, princípios e convenções, indispensáveis a uma boa prática do Cálculo Sorobã. Na Prática do Cálculo, exemplificamos a dinâmica das operações através de exercícios simples, visando maior rapidez e segurança na aprendizagem.

Neste livro, você poderá aprender as técnicas de cálculo das quatro operações fundamentais com números inteiros e decimais, da Fatoração, do MDC, do MMC, das operações com Números Fracionários, da Potenciação, da Radiciação, das Razões e Proporções, da regra de três, da Porcentagem e dos Juros. Quando você adquirir boa prática, certamente será capaz de planejar maneiras de efetuar no sorobã, outros cálculos não incluídos aqui.

No capítulo 24, comentamos sobre a Importância do Sistema Sorobã na Estimulação Psicomotora. Finalizamos este trabalho no capítulo 25, comentando sobre Metodologia do Ensino de Sorobã. Lendo este livro e manuseando o aparelho, você poderá aprender sozinho a calcular no sorobã ou, se for o caso, complementar a sua aprendizagem.


CAPÍTULO 2

CONHECIMENTO DO SOROBÃ

Sorobã é a palavra japonesa para designar o ábaco ("padrão de contagem").

O ábaco foi inventado pelos chineses há cinco mil anos, aproximadamente, e é conhecido como a primeira máquina de calcular.

Não temos informações precisas da evolução do ábaco, até chegar ao sorobã dos nossos dias, isto é, um aparelho que nos permite realizar com facilidade e rapidez as operações aritméticas.

O ábaco entrou para o Japão há centenas de anos, e é usado em suas escolas, em suas casas comerciais, por engenheiros, etc.

Trazido para o nosso país pelos japoneses, o sorobã ou ábaco japonês está hoje difundido no Brasil e em vários outros países da América, da Europa e da África.

Nós, cegos do Brasil, começamos a utilizá-lo há cinqüenta anos. O sorobã veio substituir com grandes vantagens, os aparelhos de cálculo até então usados pelos cegos.

Em meados deste século, foi adaptado no Brasil para uso dos cegos, pelos senhores Joaquim Lima de Moraes (que se tornou funcionário da Fundação para o Livro do Cego no Brasil, hoje Fundação Dorina Nowill para Cegos) e seu aluno José Valesin.

O senhor Moraes, já na condição de deficiente visual, depois de haver pesquisado sobre os aparelhos de cálculo utilizados pelos cegos no Brasil, insatisfeito com as limitações destes aparelhos, encontrou o sorobã com os japoneses. Estudou suas técnicas e escreveu as primeiras instruções, ensinando aos cegos o modo de calcular neste aparelho.

Publicou o primeiro livro do gênero no nosso país em 1951: "Sorobã - Aparelho de Cálculo para Cegos". Sua 2ª edição, ampliada e melhorada, veio a público em 1965.

O senhor Valesin introduziu a borracha compressora em julho de 1949, com a finalidade de controlar melhor o deslizamento das contas nos eixos, tornando o sorobã um aparelho perfeito, principalmente para operadores deficientes visuais.

O sorobã, portanto, não foi criado especialmente para uso dos cegos mas, para isto adaptado, a fim de facilitar o seu manuseio pelos cegos.

O sr. Joaquim Lima de Moraes, com apoio da então Fundação para o Livro do Cego no Brasil, fez a divulgação de seu trabalho no nosso país, pelos outros países da América e na Europa.

Mesmo que os cegos já utilizassem o sorobã no Japão, segundo nos informou em Recife um comerciante japonês, esta adaptação significou grande contribuição do Brasil ao ensino da Matemática ao deficiente visual.

Como sempre acontece no processo de mudança, o trabalho do sr. Joaquim Lima de Moraes foi recebido com euforia desde o princípio, por aqueles que perceberam logo as vantagens do sorobã, mas também sofreu alguma resistência, ao nosso ver, superada.

Em 1978, tendo já o Instituto Benjamin Constant reconhecido a importância do sorobã para o deficiente visual, dois de seus professores, Olemar Silva da Costa e Jonir Bechara Cerqueira, publicaram o livro "Técnica de Cálculo e Didática do Sorobã".

Há sorobãs de madeira, de plástico, sorobãs de 27, de 21, de 18 e até de menos eixos ou algarismos, sorobãs com cinco e com mais de cinco contas em cada eixo, sorobãs de contas esféricas, sorobãs de contas bicônicas, etc.

Vejamos a descrição do sorobã que recomendamos, isto é, o de 21 eixos e de 5 contas bicônicas em cada eixo, pois a ele nos referimos neste livro, por considerá-lo com espaço suficiente para as operações aritméticas, ser o sorobã de 5 contas o apropriado para o nosso sistema de numeração de base 10 e as contas bicônicas mais convenientes à percepção tátil.

As contas bicônicas, com a distância entre os vértices menor que o diâmetro da base, proporcionam melhores condições de percepção e movimento, permitindo espaçamento ideal na largura dos retângulos.

Este aparelho tem a forma retangular, com uma espécie de régua em posição horizontal, que o divide em dois retângulos: um largo e um estreito.

O retângulo largo deve ficar voltado para o operador, enquanto o estreito em posição oposta.

A régua é transpassada por eixos que vão da borda inferior à borda superior.

Cada eixo tem cinco contas, sendo quatro no retângulo largo e uma no retângulo estreito.

As contas do retângulo largo valem um; as contas do retângulo estreito valem cinco.

Costumeiramente, chamamos as contas do retângulo estreito, "continhas de cima"; as contas do retângulo largo, "continhas de baixo".

Cada eixo, com suas contas, representa um algarismo.

A régua contém pontos salientes, para dividir o sorobã em classes de três algarismos ou ordens. Há sorobãs que, ao invés de pontos, têm, na régua, traços para separar as classes.

Assim, um sorobã de vinte e um algarismos tem, na régua, seis pontos, para dividi-lo em sete classes de três ordens.

As classes são nomeadas da direita para a esquerda: 1ª classe, a da direita; 7ª classe, a da esquerda.

Os pontos da régua também são nomeados da direita para a esquerda, de um até seis. Assim, o ponto da direita é o ponto um e o da esquerda é o ponto seis.

Cada classe tem três ordens: unidade, dezena, centena, sempre da direita para a esquerda.

A 1ª classe é a classe das unidades, a 2ª é a classe dos milhares, a 3ª é a classe dos milhões, etc.

A borracha compressora se localiza por trás dos eixos.

Quando as contas estiverem meio folgadas, podemos regular a sua pressão, retirando o fundo do sorobã e colocando por trás da borracha folhas de papel, até satisfazer a regulagem.

Nada impede que operemos em sorobãs de menor número de algarismos porém, quanto menor o número de algarismos de um sorobã, maiores as restrições de espaço e subseqüente necessidade de dois sorobãs nos trabalhos de cálculo, à exceção das operações diretas e ditadas.

Como vimos, o sorobã apresenta seus algarismos num alinhamento horizontal, de sorte que suas classes numéricas não podem ser sobrepostas umas às outras em paralelo, para construção de colunas verticais.

Isto favorece a atuação das duas mãos nos trabalhos de cálculo, impondo a prática de técnicas específicas que, atendendo rigorosamente aos princípios da Matemática, permitem grande rapidez e segurança.

Assim, por exemplo, na adição, escrevemos as parcelas seguidas horizontalmente no lado esquerdo do sorobã e operamos, registrando o total no lado direito. Aí, a mão esquerda se encarrega da escrita e leitura das parcelas durante a operação, enquanto a direita registra os resultados. Portanto, as parcelas se sucedem cada uma à direita da outra e o total à direita de todas as parcelas ou seja, tudo no mesmo segmento horizontal.

Por isso, a técnica de adicionar as parcelas no sentido da leitura dos números, permite que a mão esquerda as leia da primeira à última, sem deslocamentos inconvenientes, dando maior rapidez ao cálculo, e possibilita a prática da adição ditada, o que seria muito difícil, adicionando as parcelas no sentido inverso da leitura.

As demais operações aritméticas também são realizadas no mesmo segmento horizontal, obedecendo a técnicas específicas, de acordo com as peculiaridades do aparelho.

Você poderá verificar isto, nos capítulos de 4 a 23, que abordam a dinâmica das operações aritméticas no sorobã.

A facilidade de escrever números no sorobã, apagar números, substituir números, deslocar números, permite várias possibilidades de cálculo neste aparelho, com todos os seus termos no mesmo sorobã, ou em dois sorobãs, ou calculando-se diretamente do papel para o sorobã ou ainda, realizando-se operações ditadas.

Por isso, o ensino e a prática do Cálculo Sorobã serão mais proveitosos, à medida em que soubermos explorar as possibilidades deste aparelho, seguindo suas técnicas específicas.

Assim, podemos realizar no sorobã, com facilidade, segurança e rapidez, as operações aritméticas, com números inteiros, decimais e fracionários.

Por conseguinte, o progresso na aprendizagem e prática das técnicas do sorobã, depende de dois fatores: da capacidade de cada indivíduo e da exploração adequada deste Sistema de Cálculo, de acordo com suas peculiaridades.

Ha pessoas que, depois de dominarem plenamente as técnicas, chegam até a operar em sorobãs imaginários.

Se a escola em geral adotasse o sorobã, com os professores estudando mais assiduamente este Sistema, não haveria tanta gente pensando que não gosta de matemática.


CAPÍTULO 3

ESCRITA DE NÚMEROS NO SOROBÃ

Quando as contas, em determinado eixo, estiverem afastadas da régua, aí estará escrito 0.

Quando, em todos os eixos, as contas estiverem afastadas da régua, estará escrito 0 em todo o sorobã.

Antes de qualquer exercício no sorobã, afaste da régua todas as contas, isto é, deixe o sorobã em zero.

Para escrever números no sorobã, proceda assim:

0 - afaste as contas da régua;

1 - empurre uma continha de baixo, até encostar na régua, na ordem das unidades;

2 - empurre duas continhas, na ordem das unidades;

3 - empurre três continhas;

4 - empurre as quatro continhas de baixo;

5 - puxe a continha de cima, na ordem das unidades, até encostar na régua;

6 - empurre uma continha das de baixo e puxe a continha de cima, na ordem das unidades;

7 - empurre duas continhas de baixo e puxe a de cima;

8 - empurre três continhas de baixo e puxe a de cima;

9 - empurre as quatro de baixo e puxe a continha de cima;

10 - empurre uma continha de baixo na ordem das dezenas, até encostar na régua, deixando as continhas afastadas da régua na ordem das unidades;

20 - 2 na dezena e 0 na unidade;

50 - 5 na dezena e 0 na unidade;

90 - 9 na dezena e 0 na unidade;

100 - 1 na ordem das centenas, 0 na dezena e 0 na unidade;

1.000 - 1 na unidade da 2ª classe, 0 na centena, dezena e unidade da 1ª classe (o ponto um da régua separa a ordem dos milhares da ordem das centenas);

2,5 - 2 na unidade da 2ª classe e 5 na centena da 1ª;

3/4 (três quartos) - 3 na unidade da 2ª classe e 4 na unidade da 1ª;

4 2/7 (4 inteiros e 2 sétimos) - 4 na unidade da 3ª classe, 2 na unidade da 2ª e 7 na unidade da 1ª;

2\5 (2 elevado a 5) - 2 na unidade da 2ª classe e 5 na unidade da 1ª.

Podemos escrever um número em qualquer parte do sorobã, desde que ajustado às suas classes. Exs.:

1 na 1ª classe = 1 na unidade da 1ª classe; 1 na 3ª classe = 1 na unidade da 3ª classe; 42 na 2ª classe = 4 na dezena e 2 na unidade da 2ª classe, etc.

Qualquer ponto da régua pode significar: separação de classes, sinal decimal, barra de fração, sinal de razão, sinal de proporção, sinal de expoente, etc.

Para registrar número de telefone de 7 algarismos no sorobã, escrevemos o prefixo a começar na unidade da 3ª classe ou da 7ª.

Os números de telefone com 8 algarismos, devem começar a sua escrita na dezena da 3ª classe ou da 7ª.

Assim, o número do telefone estará ajustado ao sorobã.

Para escrever datas no sorobã, registramos o número do dia na 3ª classe, o número do mês na 2ª e o número do ano na 1ª.

Ex.: 02/01/99 = 2 na unidade da 3ª classe, 1 na unidade da 2ª e 99 na dezena e unidade da 1ª.

Para escrever datas com os quatro algarismos do número do ano, registramos o número do dia na 4ª classe, o número do mês na 3ª e o número do ano ocupando a 2ª e 1ª classes.

Ex.: 28/02/1999 = 28 na dezena e unidade da 4ª classe, 2 na unidade da 3ª e 1999 ocupando a unidade da 2ª e toda a 1ª classe.

TREINAMENTO DAS DUAS MÃOS

Na leitura e escrita de números no sorobã, utilizamos mais o indicador e polegar de ambas as mãos, nada impedindo que se utilize também o dedo médio, se isto for cômodo para o operador.

EXERCÍCIOS COM NÚMEROS IGUAIS

1º. Escreva com a mão esquerda, um número de um algarismo na 7ª classe e, com a direita, o copie na 1ª classe; depois, apague.

Repita este exercício várias vezes com outros números de um algarismo.

2º. Escreva com a mão esquerda, um número de dois algarismos na 7ª classe e, com a direita, o copie na 1ª classe; depois, apague.

Repita este exercício várias vezes com outros números de dois algarismos.

3º. Escreva com a mão esquerda, um número de três algarismos na 7ª classe e, com a direita, o copie na 1ª classe; depois apague.

Repita várias vezes este exercício, com outros números de três algarismos.

4º. Escreva com a mão esquerda, um número de quatro algarismos no lado esquerdo do sorobã e, com a direita, o copie no lado direito;

depois, apague.

Repita várias vezes este exercício com outros números de quatro algarismos.

EXERCÍCIOS COM NÚMEROS DIFERENTES

5º. Escreva no lado esquerdo um número de um algarismo e no lado direito um número de dois; a seguir, apague os números e os escreva invertendo a posição, isto é, o da direita na esquerda e o da esquerda na direita. Repita este exercício com vários números.

6º. Escreva um número de dois algarismos no lado esquerdo e um de três no lado direito; a seguir, apague os números e os escreva em posição invertida. Repita este exercício com vários números.

7º. Escreva um número de 3 algarismos no lado esquerdo e um de quatro no lado direito; a seguir, apague os números e os escreva em posição invertida. Repita este exercício com vários números.


CAPÍTULO 4

ADIÇÃO - INTEIROS E DECIMAIS -

PRELIMINARES

1. Escrevemos as parcelas com a mão esquerda, no lado esquerdo do sorobã, e efetuamos a adição no lado direito, escrevendo com a mão direita os algarismos do total.

2. Terminada a adição de inteiros, o total estará na 1ª classe, desde que tenha até 3 algarismos. Se ultrapassar a ordem das centenas, o ponto 1 estará separando as centenas dos milhares.

3. Terminada a adição de decimais, o ponto 1 estará separando os inteiros das ordens decimais, desde que o total tenha até 3 decimais. De 4 até 6 decimais, o ponto 2 será o sinal decimal do total.

4. A parcela de maior número de ordens decimais, nos permite escolher por antecipação o ponto da régua que deve representar o sinal decimal do total. Portanto, ao efetuarmos a adição de números decimais, o fazemos de sorte que a unidade do total, coincida com uma unidade de classe do sorobã, imediatamente à esquerda de um ponto da régua.

5. No sorobã, é mais conveniente adicionar as parcelas no sentido da leitura dos números, isto é, das ordens superiores para as ordens inferiores. Esta inovação, introduzida já na 2ª edição revista e melhorada de "Sorobã - Aparelho de Cálculo para Cegos", do Sr. Joaquim Lima de Moraes, publicada em 1965, tem as seguintes vantagens:

5.1 Permite que, durante a operação, a mão esquerda leia as parcelas, da primeira à última, sem interrupções para deslocamentos inconvenientes, proporcionando maior rapidez ao cálculo;

5.2 Facilita a prática da adição direta;

5.3 Possibilita a prática da adição ditada, que pode ser útil, também em exercícios de classe, para desenvolvimento da agilidade.

6. Quando uma adição for constituída de muitas parcelas ou de parcelas grandes que excedam o espaço de um sorobã, você poderá utilizar dois sorobãs ou efetuar a operação diretamente do papel para o sorobã.

7. Para maior segurança na aprendizagem das técnicas de cálculo da adição e desenvolvimento de sua agilidade no sorobã, repita a execução dos exemplos aqui apresentados, elabore você próprio e execute outros exercícios deste cálculo.

PRÁTICA DO CÁLCULO

1º Exemplo. Calcular: 1+3+4=8. Prova dos 9: 8 8.

1. Escreva, com a mão esquerda, as parcelas 1, 3 e 4 na 7ª , 6ª e 5ª classes;

2. Com a mão esquerda na 7ª classe e a direita na 1ª, adicione a 1ª parcela, escrevendo 1 com a mão direita, na unidade da 1ª classe;

3. Passe a mão esquerda para a 6ª classe e adicione a 2ª parcela, falando da esquerda para a direita: 3+1=4; escreva 4 no lugar do 1 (unidade da 1ª classe);

4. Passe a mão esquerda para a 5ª classe e adicione a 3ª parcela com o resultado das duas primeiras: 4+4=8; escreva 8 no lugar do 4 (unidade da 1ª classe).

Portanto, total = 8.

2º Exemplo. Calcular: 5+6+8=19. Prova dos 9: 1 1.

1. Escreva as parcelas 5, 6 e 8, na 7ª, 6ª e 5ª classes;

2. Adicione a 1ª parcela, escrevendo 5 na unidade da 1ª classe;

3. Adicione a 2ª parcela: 6+5=11; escreva 1 no lugar do 5 (unidade da 1ª classe) e leve 1 para a ordem das dezenas , dizendo: 1+0=1; escreva 1 no lugar do 0 (dezena da 1ª classe);

4. Adicione a 3ª parcela com o resultado das duas primeiras; unidade com unidade: 8+1=9; escreva 9 no lugar do 1 (unidade da 1ª classe). Portanto, total = 19.

3º Exemplo. Calcular: 35+12=47. Prova dos 9: 2 2.

1. Escreva as parcelas 35 na 7ª e 12 na 6ª classe;

2. Adicione a 1ª parcela, escrevendo 35 na 1ª classe;

3. Adicione a 2ª parcela; dezena com dezena: 1+3=4; escreva 4 no lugar do 3 (dezena da 1ª classe); unidade com unidade: 2+5=7; escreva 7 no lugar do 5 (unidade da 1ª classe).

Portanto, total = 47.

4º Exemplo. Calcular: 845+79=924. Prova dos 9: 6 6.

1. Escreva 845 na 7ª classe e 79 na 6ª;

2. Adicione a 1ª parcela, escrevendo 845 na 1ª classe;

3. Adicione a 2ª parcela; dezena com dezena: 7+4=11; escreva 1 no lugar do 4 (dezena da 1ª classe) e leve 1 para a ordem das centenas:

1+8=9; escreva 9 no lugar do 8; adicione as unidades: 9+5=14; escreva 4 no lugar do 5 (unidade da 1ª classe) e leve 1 para a ordem das dezenas:

1+1=2; escreva 2 no lugar do 1.

Portanto, total = 924.

5º Exemplo. Calcular: 2,5+4,6=7,1. Prova dos 9: 8 8.

1. Escreva 2,5 em relação ao ponto 6 e 4,6 em relação ao ponto 5;

2. Adicione a 1ª parcela, escrevendo 2,5 em relação ao ponto 1;

3. Adicione a 2ª parcela: 4+2=6; escreva 6 no lugar do 2 (unidade da 2ª classe); e prossiga: 6+5=11; escreva 1 no lugar do 5 (centena da 1ª classe) e leve 1 para as unidades da 2ª classe: 1+6=7; escreva 7 no lugar do 6.

Portanto, total = 7,1.

6º Exemplo. Calcular: 7,85+3,15=11. Prova dos 9: 2 2.

1. Escreva as parcelas em relação aos pontos 6 e 4;

2. Adicione a 1ª parcela, escrevendo 7,85 em relação ao ponto 1;

3. Adicione a 2ª parcela; unidade com unidade: 3+7=10; escreva 0 no lugar do 7 (unidade da 2ª classe) e vai 1; escreva 1 na dezena da 2ª classe; prosseguindo, décimos com décimos: 1+8=9; escreva 9 no lugar do 8 (centena da 1ª classe); centésimos com centésimos: 5+5=10; escreva 0 no lugar do 5 e vai 1 para a ordem dos décimos: 1+9=10; escreva 0 no lugar do 9 (centena da 1ª classe) e vai 1 para a ordem das unidades: 1+0=1; escreva 1 no lugar do 0 (unidade da 2ª classe).

Portanto, total = 11,00=11.

ADIÇÃO DIRETA

Para adicionar diretamente do papel para o sorobã, coloque a mão direita no lado direito do sorobã e, com a esquerda, leia as parcelas em Braille, enquanto realiza no sorobã a sua adição.

A este processo, chamamos adição direta.

Os videntes podem realizar a adição direta, lendo com os olhos as parcelas em tinta ou em Braille.

ADIÇÃO DITADA

Também é possível realizar adição ditada:

À medida que o professor (OU OUTRA PESSOA) vai lendo as parcelas, o operador as adiciona no sorobã.

Esta prática, que permite grande rapidez no cálculo, só deve ser adotada quando o aluno tiver dominado bem a técnica da adição.

Este processo estimula a agilidade e exercita a prontidão mental para o cálculo.

ESTÍMULO À AGILIDADE

O Sr. Joaquim Lima de Moraes recomendava, para estimular a agilidade, exercícios que consistem em adicionar dez vezes a mesma parcela no sorobã.

Exemplo: Adicionar 10 vezes a parcela 4:

Escrever a parcela 4 na 7ª classe e adicioná-la 10 vezes na 1ª classe, até chegar ao número 40:

4+0=4; escreva 4 no lugar do 0 4+4=8; escreva 8 no lugar do 4 4+8=12; escreva 12 no lugar do 8 4+12=16; escreva 16 no lugar do 12 4+16=20; escreva 20 no lugar do 16 4+20=24; escreva 24 no lugar do 20 4+24=28; escreva 28 no lugar do 24 4+28=32; escreva 32 no lugar do 28 4+32=36; escreva 36 no lugar do 32 4+36=40; escreva 40 no lugar do 36 (fim do exercício)

Após a repetição de exercícios simples para estímulo da agilidade, experimente efetuar adição direta.

Por fim, experimente efetuar adição ditada.

PROVA DOS 9 DA ADIÇÃO

1. Escolha um ponto livre da régua.

2. Com a mão esquerda, tire os 9 às parcelas e escreva o resultado à esquerda do ponto escolhido, isto é na ordem das unidades.

3. Com a mão direita, tire os 9 ao total e escreva o resultado à direita do ponto escolhido, isto é, na ordem das centenas .

Se os dois resultados separados pelo ponto forem iguais, supõe-se certa a adição.

PROVA REAL DA ADIÇÃO

Subtraia do total, todas as parcelas sucessivamente. Se o resto final for igual a zero, a adição estará certa. A prova real da adição só pode ser praticada por quem já conheça as técnicas de cálculo da subtração.


CAPÍTULO 5

SUBTRAÇÃO - INTEIROS E DECIMAIS -

PRELIMINARES

1. Escrevemos o minuendo com a mão direita, no lado direito do sorobã e o subtraendo com a mão esquerda, no lado esquerdo.

2. Durante a operação, o minuendo desaparece para dar lugar ao resto. Por isso, para efeito de prova, registramo-lo próximo ao subtraendo.

3. Na subtração de números decimais, o ponto 1 da régua será o sinal decimal do minuendo e do resto, desde que tenham até 3 ordens decimais.

O sinal decimal do subtraendo no sorobã, será o ponto 6 da régua, desde que a parte inteira tenha até 3 algarismos.

4. No sorobã, é mais conveniente efetuar a subtração no sentido da leitura dos números, isto é, das ordens superiores para as ordens inferiores. Esta inovação, introduzida já na 2ª edição revista e melhorada de "Sorobã - Aparelho de Cálculo para Cegos", do Sr. Joaquim Lima de Moraes, publicada em 1965, tem as seguintes vantagens:

4.1 Facilita a prática da subtração direta;

4.2 Possibilita a prática da subtração ditada;

4.3 Propicia a agilidade do cálculo.

5. Para maior segurança na aprendizagem das técnicas de cálculo da subtração e desenvolvimento de sua agilidade no sorobã, repita a execução dos exemplos aqui apresentados, elabore você próprio e execute outros exercícios deste cálculo.

PRÁTICA DO CÁLCULO

1º exemplo. Calcular: 8-3=5. Prova dos 9: 8 8.

1. Escreva 8 na 1ª classe e 3 na 7ª;

2. Para efeito de prova, registre o 8 na 6ª classe;

3. Falando da esquerda para a direita, calcule: 3 para 8, dá 5;

escreva 5 no lugar do 8 (unidade da 1ª classe).

Portanto, resto ou diferença = 5.

2º exemplo. Calcular: 23-9=14. Prova dos 9: 5 5.

1. Escreva 23 na 1ª classe e 9 na 7ª;

2. Registre o 23 na 6ª classe;

3. Com o indicador esquerdo sobre o 9 e o direito sobre o 3, calcule: 9 para 13, dá 4 e vai 1; escreva 4 no lugar do 3 (unidade da 1ª classe) e leve 1 para as dezenas: 1 para 2, dá 1; escreva 1 no lugar do 2.

Portanto, resto ou diferença = 14.

3º exemplo. Calcular: 85-37=48. Prova dos 9: 4 4.

1. Escreva 85 na 1ª classe e 37 na 7ª;

2. Registre o 85 na 6ª classe;

3. Calcule, começando pelas dezenas: 3 para 8, dá 5; escreva 5 no lugar do 8; Passe os indicadores para as unidades e prossiga: 7 para 15, dá 8; escreva 8 no lugar do 5 (unidade) e leve 1 para as dezenas: 1 para 5, dá 4; escreva 4 no lugar do 5 (dezena).

Portanto, resto ou diferença = 48.

4º exemplo. Calcular: 8,6-2,5=6,1. Prova dos 9: 5 5.

1. Escreva 8,6 em relação ao ponto 1 e 2,5 em relação ao ponto 6;

2. registre o 8,6 em relação ao ponto 5;

3. Calcule: 2 para 8, dá 6; escreva 6 no lugar do 8 (unidade da 2ª classe); e prossiga: 5 para 6, dá 1; escreva 1 no lugar do 6 (centena da 1ª classe).

Portanto, resto ou diferença = 6,1.

Também é possível realizar no sorobã, subtração direta e subtração ditada.

Na subtração direta, escrevemos no sorobã somente o minuendo e efetuamos o cálculo com o subtraendo diretamente do papel.

Na subtração ditada, alguém ditará os termos, enquanto o operador calcula no sorobã.

Faça exercícios destas modalidades de subtração, para desenvolver sua agilidade no cálculo.

É recomendável também, para desenvolvimento da agilidade no cálculo da subtração, exercícios de subtrações sucessivas de um único subtraendo, em que o minuendo seja 10 vezes maior que o subtraendo e o subtraendo seja um número de um só algarismo.

Seja, por exemplo, subtrair o número 4, 10 vezes do número 40, até chegar ao resto 0:

1. Escreva o minuendo 40 na 1ª classe e o subtraendo 4 na 7ª;

2. Com a mão esquerda sobre o 4 e a direita sobre o 40, pratique a técnica da subtração, conservando sempre o 4 na 7ª classe, e chegará aos seguintes resultados:

40-4=36 36-4=32 32-4=28 28-4=24 24-4=20 20-4=16 16-4=12 12-4=8 8-4=4 4-4=0 (fim do exercício)

PROVA DOS 9 DA SUBTRAÇÃO

1. Escolha um ponto livre da régua.

2. Tire os 9 ao minuendo e escreva o resultado à esquerda do ponto escolhido, isto é, na unidade.

3. Tire os 9 ao subtraendo juntamente com o resto e escreva o resultado à direita do ponto escolhido, isto é, na centena.

Se os dois resultados separados pelo ponto forem iguais, supõe-se certa a subtração.

PROVA REAL DA SUBTRAÇÃO

Adicione o subtraendo ao resto.

Se o total for igual ao minuendo, a subtração estará certa.


CAPÍTULO 6

MULTIPLICAÇÃO - INTEIROS E DECIMAIS -

PRELIMINARES

1. Escrevemos o multiplicando no lado esquerdo do sorobã e o multiplicador no lado direito, com tantas ordens vagas quantos forem os algarismos do multiplicando mais um.

2. As ordens vagas, à direita do multiplicador, significam o lugar onde vai ser escrito o produto.

3. Durante a operação, o multiplicador desaparece. Por isso, para efeito de prova, registramo-lo próximo ao multiplicando.

4. À medida que calculamos, vamos logo adicionando os produtos parciais.

5. O 1º produto parcial de cada algarismo do multiplicador, terá sua unidade adicionada à 2ª ordem à direita dele. Do 2º produto em diante, adicionamos a sua unidade imediatamente à direita da unidade do produto parcial anterior. Ao passarmos a outro algarismo do multiplicador, a seqüência recomeça.

6. Realizamos a multiplicação de números decimais no sorobã, como se fossem inteiros. Terminada a operação, o número de ordens decimais do produto é igual à soma do número de decimais dos fatores.

7. Quando o número de ordens decimais do produto for = 3 ou múltiplo de 3, o produto estará ajustado aos pontos da régua. Quando o número de ordens decimais do produto não for múltiplo de 3, devemos ajustá-lo a um ponto da régua, isto é, escrevê-lo em relação a esse ponto, para evitar qualquer confusão.

8. Na multiplicação de vários fatores no sorobã, procedemos assim:

8.1 Consideramos o último fator como multiplicador e os demais como multiplicandos.

8.2 Escrevemos os multiplicandos no lado esquerdo do sorobã e o multiplicador no lado direito, com tantas ordens vagas quantos forem os algarismos dos multiplicandos, mais tantas quantos forem os multiplicandos.

8.3 O produto do 1º multiplicando será multiplicador do 2º multiplicando.

8.4 O produto do 2º multiplicando será multiplicador do 3º multiplicando.

E assim sucessivamente, até chegarmos ao produto final.

9. Quando o espaço de um sorobã for insuficiente para os trabalhos de cálculo na multiplicação de vários fatores, você terá duas alternativas de solução:

9.1 Poderá utilizar dois sorobãs: num deles, escreverá os multiplicandos e no outro, escreverá o multiplicador, com suas respectivas ordens vagas.

9.2 Poderá realizar a multiplicação direta, usando apenas um sorobã: escreverá nele o multiplicador com suas ordens vagas, e efetuará a operação, lendo os multiplicandos em braille ou em tinta.

10. Qualquer número multiplicado por 0 é igual a 0.

11. Qualquer número multiplicado por 1 é igual a ele próprio.

12. Para multiplicar um número inteiro por 10, basta acrescentar 0 à direita dele; para multiplicar por 100, acrescentar 00; para multiplicar por 1.000, acrescentar 000, etc.

13. Para multiplicar um número decimal por 10, basta deslocar o sinal decimal uma ordem à direita; por 100, deslocar o sinal decimal duas ordens à direita; por 1.000, deslocar o sinal decimal três ordens à direita, etc. Às vezes, este deslocamento do sinal decimal transforma o número decimal em número inteiro. Exemplo: 1,2*100=120.

14. Para maior segurança na aprendizagem das técnicas de cálculo da multiplicação e desenvolvimento de sua agilidade no sorobã, repita a execução dos exemplos aqui apresentados, elabore você próprio e execute outros exercícios deste cálculo.

PRÁTICA DO CÁwoodcut from the book Margarita Philosophica by Gregor Reisch of Freiburg, published in 1503LCULO

1º Exemplo. Calcular: 4*2=8. Prova dos 9: 4 2 8 8.

1. Escreva 4 na 7ª classe e 2 no lado direito do sorobã, com duas ordens vagas, como se fosse 200; duas ordens vagas, porque o multiplicando tem um algarismo: 1+1=2 ordens vagas;

2. Registre o 2 na 6ª classe, para efeito de prova;

3. Coloque o indicador direito sobre o 2 e o esquerdo sobre o 4 e calcule, falando da direita para a esquerda: 2*4=8; apague o 2 e escreva 8 na 2ª ordem à direita dele (unidade da 1ª classe).

Portanto, produto = 8.

2º Exemplo. Calcular: 4*3=12. Prova dos 9: 4 3 3 3.

1. Escreva 4 na 7ª classe e 3 no lado direito do sorobã, com duas ordens vagas;

2. Registre o 3 na 6ª classe;

3. Com o indicador direito sobre o 3 e o esquerdo sobre o 4, calcule: 3*4=12; apague o 3 e escreva 12 à direita dele.

Portanto, produto = 12.

3º Exemplo. Calcular: 2*34=68. Prova dos 9: 2 7 5 5.

1. Escreva 2 na 7ª classe e 34 no lado direito do sorobã, com duas ordens vagas;

2. Registre o 34 na 6ª classe;

3. Indicador direito sobre o 4 e esquerdo sobre o 2, calcule: 4*2=8; apague o 4 e escreva o 8 duas ordens à direita (unidade da 1ª classe);

4. Passe o indicador direito para o 3 e calcule: 3*2=6; apague o 3 e escreva 6 na 2ª ordem à direita dele (dezena da 1ª classe). Portanto, produto = 68.

4º Exemplo. Calcular: 43*28=1.204. Prova dos 9: 7 1 7 7.

1. Escreva 43 na 7ª classe e 28 no lado direito do sorobã, com três ordens vagas ;

2. Registre o 28 na 6ª classe;

3. Com o indicador direito sobre o 8 e o esquerdo sobre o 4, calcule: 8*4=32; apague o 8 (guardando-o de memória) e escreva 32 à direita dele (centena e dezena da 1ª classe); Com o indicador direito sobre o 2 e o esquerdo sobre o 3, continue: 8(memorizado)*3=24; escreva 4 à direita do 2 (unidade) e leve 2 para adicionar às dezenas: 2+2=4; escreva 4 no lugar do 2;

4. Agora, trabalhe as dezenas do multiplicador, calculando: 2*4=8; apague o 2 (memorizando-o) e adicione 8 à 2ª ordem à direita dele (centena da 1ª classe): 8+3=11; escreva 1 no lugar do 3 e leve 1 para a ordem dos milhares: 1+0=1; escreva 1 no lugar do 0;

5. Passe o indicador esquerdo para o 3 e o direito para o 1 (centena da 1ª classe) e calcule: 2(memorizado)*3=6; adicione 6 uma ordem à direita: 6+4=10; escreva 0 no lugar do 4 (dezena) e leve 1 para a ordem das centenas: 1+1=2; escreva 2 no lugar do 1.

Portanto, produto = 1.204.

5º Exemplo. Calcular: 4*2,3=9,2. Prova dos 9: 4 5 2 2.

1. Escreva 4 na 7ª classe e 2,3 no lado direito do sorobã, com duas ordens vagas, como se fosse 2.300;

2. Registre o multiplicador 2,3 em relação ao ponto 5;

3. Calcule: 3*4=12; apague 3 e escreva 12 à direita dele;

4. Com o indicador direito sobre o 2 (unidade da 2ª), prossiga: 2*4=8; apague o 2 e adicione 8 à 2ª ordem à direita dele: 8+1=9; escreva 9 no lugar do 1 (dezena da 1ª classe).

5. Considerando que o produto 92 tem uma ordem decimal, porque um dos fatores tem uma ordem decimal, desloque-o para ajustá -lo a um ponto da régua; escreva-o pois, em relação ao ponto 1. Portanto, produto = 9,2.

6º Exemplo. Calcular: 4,1*6,2=25,42. Prova dos 9: 5 8 4 4.

1. Escreva 4,1 em relação ao ponto 6 e 6,2 no lado direito do sorobã, com três ordens vagas;

2. Registre o 6,2 em relação ao ponto 5;

3. com o indicador direito sobre o 2 e o esquerdo sobre o 4, calcule: 2*4=8; apague o 2 (guardando-o de memória) e escreva 8 duas ordens à direita (dezena da 1ª classe); com o indicador direito sobre o 8 e o esquerdo sobre o 1, calcule: 2*1=2; escreva 2 à direita do 8 (unidade da 1ª classe);

4. Passe o indicador direito para o 6 e o esquerdo para o 4 e calcule: 6*4=24; apague o 6 e escreva 24 à direita dele;

5. Com o indicador direito sobre o 4 e o esquerdo sobre o 1, calcule: 6(memorizado)*1=6; adicione 6 à direita do 4: 6+8=14; escreva 4 no lugar do 8 (dezena da 1ª classe) e leve 1 para adicionar às centenas: 1+4=5; escreva 5 no lugar do 4;

6. Separe no produto , duas ordens para decimais, porque a soma das decimais dos fatores é igual a 2; escreva pois, 25,42 em relação ao ponto 1 da régua. Portanto, produto = 25,42.

7º Exemplo. Calcular: 12*14*16=2.688.

1. Escreva os multiplicandos 12 e 14 na 7ª e 6ª classes e o multiplicador 16 na 3ª classe, isto é, com 6 ordens vagas, porque são 4 os algarismos dos multiplicandos e são 2 os multiplicandos: 4+2=6 ordens vagas;

2. Realize a multiplicação do 12 pelo 16 e encontrará 192 na 2ª classe, que será o multiplicador do 14; observe que 192 já está com as 3 ordens vagas;

3. Realize a multiplicação do 14 pelo 192 e encontrará o produto 2.688.

Portanto, produto final = 2.688.

PROVA DOS 9 DA MULTIPLICAÇÃO

1. Escolha um ponto livre da régua.

2. Tire os 9 ao multiplicando e escreva o resultado na dezena à esquerda do ponto escolhido.

3. Tire os 9 ao multiplicador e escreva o resultado na unidade.

4. Multiplique o 1º pelo 2º resultado, tire os 9 e escreva o resultado na centena à direita do ponto escolhido.

5. Tire os 9 ao produto e escreva o resultado na dezena.

Se os dois resultados à direita do ponto forem iguais, supõe-se certa a multiplicação.

PROVA REAL DA MULTIPLICAÇÃO

Divida o produto por um dos fatores;

Se o quociente for igual ao outro fator, a multiplicação estará certa.

Observe que, você só poderá executar esta prova real, quando souber as técnicas de cálculo da divisão.


CAPÍTULO 7

DIVISÃO - INTEIROS E DECIMAIS -

PRELIMINARES

1. Escrevemos o dividendo no lado direito do sorobã e o divisor no lado esquerdo.

2. Durante a operação, o dividendo desaparece para dar lugar ao resto.

3. O quociente fica à esquerda do resto.

4. O resto fica entre a borda direita do sorobã e o quociente.

5. O resto deve ocupar tantas ordens quantos forem os algarismos do divisor mais 1. Portanto, se o divisor tiver um algarismo, o resto terá dois; se o divisor tiver dois algarismos, o resto terá três, ainda que sejam zeros.

6. O número das ordens correspondentes ao resto nas divisões, está relacionado ao número das ordens vagas nas multiplicações.

7. Cada algarismo do quociente será escrito com a mão direita, tantas ordens à esquerda da unidade de seu dividendo parcial, quantos forem os algarismos do divisor mais 1.

8. Quanto à divisão de decimais, observe os seguintes pontos:

8.1 O número de decimais do dividendo deve ser igual ou maior do que o número de decimais do divisor.

8.2 O número de decimais do quociente será igual à diferença entre as ordens decimais do dividendo e do divisor.

8.3 Quando o número das ordens decimais do dividendo for menor que o número das ordens decimais do divisor, acrescentam-se zeros ao dividendo, até igualar o número de ordens decimais de ambos os termos. O acréscimo de zeros à direita das ordens decimais, não altera o valor do número.

8.4 Quando o dividendo for um número inteiro, acrescentam-se zeros a esse dividendo como ordens decimais, até igualar o número de decimais de ambos os termos.

8.5 Quando ambos os termos da divisão tiverem o mesmo número de ordens decimais, o quociente será número inteiro.

9. Qualquer número dividido por 1 é igual a ele próprio.

10. Para dividir um número inteiro por 10, basta retirar o algarismo da direita, se for 0; em caso contrário, separá-lo do restante do número com o sinal decimal.

Para dividir por 100, retirar os dois algarismos da direita, se forem 00; em caso contrário, separá-los com o sinal decimal.

Para dividir por 1.000, retirar os três algarismos da direita, se forem 000; em caso contrário, separá-los com o sinal decimal.

11. Para dividir um número decimal por 10 ou por 100 ou por 1.000, etc., basta deslocar o sinal decimal uma ordem ou duas ordens ou três ordens à esquerda, etc.

12. Para maior segurança na aprendizagem das técnicas de cálculo da divisão e desenvolvimento de sua agilidade no sorobã, repita a execução dos exemplos aqui apresentados, elabore você próprio e execute outros exercícios deste cálculo.

PRÁTICA DO CÁLCULO

1º Exemplo. Calcular: 9 / 2=4 e resto 1. Prova dos 9: 2 4 0 0.

1. Escreva 9 com a mão direita na 1ª classe e 2 com a esquerda na 7ª classe;

2. Para efeito de prova, registre o 9 com a mão esquerda na 6ª classe;

3. Falando da direita para a esquerda, calcule: 9 dividido por 2 = 4; escreva 4 na 2ª ordem à esquerda do 9 (centena da 1ª classe);

4. Calcule: 4*2=8; 8 para 9 = 1; escreva 1 no lugar do 9 (unidade da 1ª classe).

Portanto, quociente = 4 e resto 01 ou 1.

2º Exemplo. Calcular: 17 / 3=5 e resto 2. Prova dos 9: 3 5 8 8.

1. Escreva 17 na 1ª classe e 3 na 7ª;

2. Registre o 17 na 6ª classe ;

3. Calcule: 17 dividido por 3 = 5; escreva 5 na 2ª ordem à esquerda do 7 (centena da 1ª classe);

4. Com o indicador direito sobre o 5 (centena da 1ª classe) e o esquerdo sobre o 3, calcule: 5*3=15; 15 para 17 = 2; escreva 2 no lugar do 7 e apague o 1 da ordem das dezenas.

Portanto, quociente = 5 e resto 02 ou 2.

3º Exemplo. Calcular: 245 / 23=10 e resto 15. Prova dos 9: 5 1 2 2.

1. Escreva 245 na 1ª classe e 23 na 7ª;

2. Registre o 245 na 6ª classe;

3. calcule: 24 dividido por 23 = 1; escreva 1 na 3ª ordem à esquerda do 4 (dezena da 2ª classe);

4. Com o indicador direito sobre o 1 e o esquerdo sobre o 2, calcule: 1*2=2; 2 para 2 = 0; escreva 0 no lugar do 2 (centena da 1ª classe); passe o indicador esquerdo para o 3 e calcule: 1*3=3; passe o indicador direito para o 4 e calcule: 3 para 4 = 1; escreva 1 no lugar do 4 (dezena da 1ª classe).

Portanto, quociente = 10 e resto 015 ou 15.

4º Exemplo. Calcular: 9.876 / 345=28 e resto 0216. Prova dos 9: 3 1 3 3.

1. Escreva 9.876 no lado direito do sorobã e 345 na 7ª classe;

2. Registre o 9.876 na 6ª e 5ª classes;

3. Com o indicador direito sobre o 7 (dezena da 1ª classe) e a mão esquerda sobre o divisor, calcule: 987 dividido por 345 = 2; escreva 2 na 4ª ordem à esquerda do 7 (centena da 2ª classe); com o indicador esquerdo sobre o 3, calcule: 2*3=6; passe o indicador direito para o 9 e calcule: 6 para 9 = 3; escreva 3 no lugar do 9 (unidade da 2ª classe); passe o indicador esquerdo para o 4 e calcule: 2*4=8; e prossiga: 8 para 8 = 0; escreva 0 no lugar do 8 (centena da 1ª classe) ; passe o indicador esquerdo para o 5 e prossiga: 2*5=10; 10 para 17 = 7 e vai 1; escreva 7 no lugar do 7 (já está escrito, dezena da 1ª classe) e leve 1 para a ordem das centenas: 1 para 10 = 9 e vai 1; escreva 9 no lugar do 0 (centena da 1ª classe ) e leve 1 para a ordem dos milhares: 1 para 3 = 2; escreva 2 no lugar do 3 (unidade da 2ª classe);

4. Passe o indicador direito para o 6 (unidade da 1ª classe) e calcule: 2.976 dividido por 345 = 8; escreva 8 na 4ª ordem à esquerda do 6, isto é, dezena da 2ª classe; com o indicador direito sobre o 8 e o esquerdo sobre o 3, calcule: 8*3=24; 24 para 29 = 5; escreva 5 no lugar do 9 (centena da 1ª classe) e apague o 2 (unidade da 2ª); passe o indicador esquerdo para o 4 e calcule: 8*4=32; 32 para 57 = 25; escreva 25 no lugar de 57 (centena e dezena da 1ª classe); passe o indicador esquerdo para o 5 e calcule: 8*5=40; 40 para 56 = 16; escreva 16 no lugar de 56 (dezena e unidade da 1ª classe).

Portanto, quociente = 28 e resto 0216 ou 216.

5º Exemplo. Calcular: 3,75 / 1,5=2,5 e resto 000 ou 0. Prova dos 9: 6 7 6 6.

1. Escreva 3,75 na 1ª classe, como se fosse número inteiro, e 1,5 em relação ao ponto 6;

2. Registre o 3,75 em relação ao ponto 5;

3. Com a mão direita sobre o dividendo e a esquerda sobre o divisor, calcule: 37 dividido por 15 = 2; escreva 2 na 3ª ordem à esquerda do 7 (dezena da 2ª classe); e calcule: 2*1=2; 2 para 3=1; escreva 1 no lugar do 3 (centena da 1ª classe); e prossiga: 2*5=10; 10 para 17 = 7; escreva 7 no lugar do 7 (já está escrito, dezena da 1ª classe) e apague o 1 da centena;

4. Com a mão direita sobre o 75, calcule: 75 dividido por 15, dá 5; escreva 5 na 3ª ordem à esquerda do 5 (unidade da 2ª classe); calcule:

5*1=5; 5 para 7=2; escreva 2 no lugar do 7 (dezena da 1ª classe); e prossiga: 5*5=25; 25 para 25=0; escreva 0 no lugar do 25.

Portanto, quociente = 2,5 e resto = 000 ou 0.

O quociente tem uma ordem decimal, porque o dividendo tem uma ordem decimal a mais em relação ao divisor.

COMPLETAR O QUOCIENTE COM ORDENS DECIMAIS

Em qualquer divisão de inteiros ou decimais, que deixe resto, você pode prosseguir os trabalhos de cálculo, para completar o quociente com ordens decimais, até chegar ao resto 0, ou a determinada ordem decimal, ou a uma dízima periódica.

6º Exemplo. Calcular: 7,8 / 2,5=3 e resto 003 ou = 3,12 e resto 000 ou 0. Prova dos 9: 7 3 6 6.

1. Escreva 7,8 no lado direito do sorobã, como se fosse número inteiro e 2,5 em relação ao ponto 6;

2. Registre o 7,8 em relação ao ponto 5;

3. Calcule: 78 dividido por 25, dá 3; escreva 3 na 3ª ordem à esquerda do 8 (unidade da 2ª classe); calcule: 3*2=6; 6 para 7=1;

escreva 1 no lugar do 7 (dezena da 1ª classe); e prossiga: 3*5=15;

calcule: 15 para 18=3; escreva 3 no lugar do 18.

Portanto, Quociente = 3 e resto 003 ou 3.

O quociente é número inteiro, porque ambos os termos da divisão têm o mesmo número de ordens decimais.

Prosseguindo a divisão para completar o quociente:

1. Transfira o quociente 3 para as unidades da 4ª classe;

2. Acrescente 0 ao resto 3 , escrevendo 30 na 1ª classe;

3. Divida 30 por 25 e encontrará o quociente 1 e resto 5;

4. Transfira o quociente 1 para a centena da 3ª classe (1ª ordem decimal);

5. Acrescente 0 ao resto 5, escrevendo 50 na 1ª classe;

6. Divida 50 por 25 e encontrará o quociente 2 e resto 000 ou 0;

7. Transfira o quociente 2 para a dezena da 3ª classe (2ª ordem decimal).

Portanto, quociente completo = 3,12 e resto 000 ou 0.

7º Exemplo. Calcular: 23 / 5=4 e resto 3 ou = 4,6 e resto 00 ou 0.

Prova dos 9: 5 1 5 5.

1. Escreva 23 na 1ª classe e 5 na 7ª;

2. Registre 23 na 6ª classe;

3. Calcule: 23 dividido por 5, dá 4; escreva 4 na 2ª ordem à esquerda do 3 (centena da 1ª classe); calcule: 4*5=20; 20 para 23=3; escreva 3 no lugar do 23 (unidade da 1ª classe).

Portanto, quociente = 4 e resto 03 ou 3.

Prosseguindo o cálculo, para completar o quociente:

1. Transfira o quociente 4 para a unidade da 5ª classe;

2. Acrescente 0 ao resto 3, escrevendo 30 na 1ª classe;

3. Seguindo a regra, divida 30 por 5 e encontrará 6 e resto 00 ou 0;

4. Transfira o quociente 6 para a centena da 4ª classe e formará o número 4,6, em relação ao ponto 4.

Portanto, quociente completo = 4,6 e resto 00 ou 0.

8º Exemplo . Calcular: 27 / 8=3 e resto 03 ou 3, ou então = 3,375 e resto 00 ou 0. Prova dos 9: 8 3 0 0.

1. Escreva os termos nos seus devidos lugares;

2. Registre o 27 na 6ª classe;

3. Seguindo a regra, divida 27 por 8 e encontrará 3 e resto 3;

4. Transfira o quociente 3 para a unidade da 5ª classe;

5. Acrescente 0 ao resto 3, escrevendo 30 na 1ª classe;

6. Seguindo a regra, divida 30 por 8 e encontrará 3 e resto 6;

7. Transfira o quociente 3 para a centena da 4ª classe;

8. Acrescente 0 ao resto 6, escrevendo 60 na 1ª classe;

9. Seguindo a regra, divida 60 por 8 e encontrará 7 e resto 4;

10. Transfira o quociente 7 para a dezena da 4ª classe;

11. Acrescente 0 ao resto 4, escrevendo 40 na 1ª classe;

12. Seguindo a regra, divida 40 por 8 e encontrará 5 e resto 00 ou 0;

13. Transfira o quociente 5 para a unidade da 4ª classe.

Portanto, quociente completo = 3,375 e resto 00 ou 0.

9º Exemplo. Calcular: 25:3=8 e resto 01 ou 1, ou então = 8,333... e resto 01 ou 1 (dízima periódica simples). Prova dos 9: 3 8 7 7.

1. Escreva 25 na 1ª classe e 3 na 7ª;

2. Registre o dividendo 25 na 6ª classe;

3. Seguindo a regra, divida 25 por 3 e encontrará 8 e resto 1;

4. Transfira o quociente 8 para a unidade da 5ª classe;

5. Acrescente 0 ao resto 1, escrevendo 10 na 1ª classe;

6. Seguindo a regra, divida 10 por 3 e encontrará 3 e resto 1;

7. Transfira o quociente 3 para a centena da 4ª classe;

8. Acrescente 0 ao resto 1, escrevendo 10 na 1ª classe;

9. Divida 10 por 3 e encontrará 3 e resto 1;

10. Transfira o quociente 3 para a dezena da 4ª classe;

11. Acrescente 0 ao resto 1, escrevendo 10 na 1ª classe;

12. Divida 10 por 3 e encontrará 3 e resto 1;

13. Transfira o quociente 3 para a unidade da 4ª classe.

Os três quocientes iguais, repetidos imediatamente após o sinal decimal, deixando o mesmo resto, indicam dízima periódica simples.

Portanto, quociente final = 8,333... e resto 01 ou 1.

10º Exemplo. Calcular: 25 / 6=4 e resto 01 ou 1 ou então = 4,1666... e resto 01 ou 1 (dízima periódica composta). Prova dos 9: 6 2 7 7.

1. Escreva os termos nos seus devidos lugares;

2. Registre o dividendo 25 na 6ª classe;

3. Divida 25 por 6 e encontrará 4 e resto 1;

4. Transfira o quociente 4 para a unidade da 5ª classe;

5. Acrescente 0 ao resto 1, escrevendo 10 na 1ª classe;

6. Divida 10 por 6 e encontrará 1 e resto 4;

7. Transfira o quociente 1 para a centena da 4ª classe;

8. Acrescente 0 ao resto 4, escrevendo 40 na 1ª classe;

9. Divida 40 por 6 e encontrará 6 e resto 4;

10. Transfira o quociente 6 para a dezena da 4ª classe;

11. Acrescente 0 ao resto 4, escrevendo 40 na 1ª classe;

12. Divida 40 por 6 e encontrará 6 e resto 4;

13. Transfira o quociente 6 para a unidade da 4ª classe;

14. Acrescente 0 ao resto 4, escrevendo 40 na 1ª classe;

15. Divida 40 por 6 e encontrará 6 e resto 4;

16. Transfira o quociente 6 para a centena da 3ª classe.

Portanto, quociente = 4,1666... e resto 04 ou 4 (dízima periódica composta).

Esta dízima periódica é composta, porque o período (a parte decimal repetida) não vem imediatamente após o sinal decimal.

PROVA DOS 9 DA DIVISÃO

1. Escolha um ponto livre da régua.

2. Tire os 9 ao divisor e escreva o resultado na dezena à esquerda do ponto escolhido.

3. Tire os 9 ao quociente e escreva o resultado na unidade.

4. Multiplique o 1º pelo 2º resultado, adicione ao resto, tire os 9 e escreva o resultado na centena, à direita do ponto.

5. Tire os 9 ao dividendo e escreva o resultado na dezena.

Se os 2 resultados à direita do ponto forem iguais, supõe-se certa a divisão.

PROVA REAL DA DIVISÃO

1. Multiplique o quociente pelo divisor.

2. Adicione o resto ao produto.

Se o resultado for igual ao dividendo, a divisão estará certa.

 


Gravura cómica japonesa de um sujeito usando alegremente o seu suan-pan. (c. 1868)


CAPÍTULO 8

FATORAÇÃO

PRELIMINARES

1. Os números podem ser múltiplos ou primos.

2. Múltiplo é o número que, em divisão exata, além dele próprio e do número 1, admite outros divisores: 8 admite para divisores, os números 1, 2, 4 e 8; portanto, 8 é múltiplo de 1, de 2, de 4 e de 8; 9 admite para divisores, os números 1, 3 e 9; portanto, 9 é múltiplo de 1, de 3 e de 9.

3. Primo é o número que, em divisão exata, só admite para divisores, ele próprio e o número 1: 2 só pode ser dividido por 2 e por 1; portanto, 2 é número primo; 17 só pode ser dividido por 17 e por 1; portanto, 17 é número primo.

4. Números primos entre si, são números que não admitem divisor comum: 4 e 9, 8 e 15, etc.

5. Fatorar quer dizer "decompor um número múltiplo em seus fatores primos".

6. Fatores primos de um número, são os números primos que, multiplicados entre si, produzem o número dado: 2, 3 e 7, são fatores primos de 42, por que 2*3*7=42.

7. Fatoração é um processo de divisões sucessivas por fatores primos em escala ascendente, prosseguindo com seus quocientes transformados em novos dividendos, até chegar-se ao quociente 1, o qual indica o fim da operação.

8. Para facilitar os trabalhos de cálculo na fatoração, é bom ter memorizados os números primos até 149, que são os seguintes:

1, 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97, 101, 103, 107, 109, 113, 127, 131, 137, 139, 149.

9. Nos cálculos da fatoração, não se trabalha com o fator primo 1.

10. Escrevemos o número a ser fatorado no lado direito do sorobã e os fatores primos encontrados, a começar pela centena da 7ª classe.

11. Durante a fatoração no sorobã, realizamos as divisões sucessivas, no mesmo lugar em que o número a ser fatorado está escrito. Por isso, cada quociente ocupa o mesmo lugar do dividendo anterior.

12. Terminada a fatoração de um número, o quociente 1 estará escrito na unidade da 1ª classe.

13. Podemos fatorar os números separadamente ou (com finalidade específica), simultaneamente.

14. Na fatoração em separado, o produto dos fatores primos encontrados é igual ao número fatorado.

15. Na fatoração simultânea, o produto dos fatores primos encontrados é igual ao mínimo múltiplo comum dos números fatorados.

16. Para maior segurança na aprendizagem das técnicas de cálculo da fatoração e desenvolvimento de sua agilidade no sorobã, repita a execução dos exemplos aqui apresentados, elabore você próprio e execute outros exercícios deste cálculo.

Obs.: Nesta edição, empregamos \ (barra invertida) como sinal de expoente.

PRÁTICA DO CÁLCULO

1º Exemplo. Calcular os fatores primos de 12.

1. Escreva 12 na 1ª classe;

2. O menor primo divisor de 12 é 2; escreva 2 na centena da 7ª classe;

3. Com a mão direita sobre o 12 e a esquerda sobre o 2, calcule: 12 dividido por 2, dá 6; escreva 6 no lugar do 12; o quociente 6 será o próximo dividendo;

4. O menor primo divisor de 6 é 2; escreva 2 na dezena da 7ª classe;

5. Calcule: 6 dividido por 2, dá 3; escreva 3 no lugar do 6 (1ª classe); o quociente 3 será o próximo dividendo;

6. O menor primo divisor de 3 é 3; escreva 3 na unidade da 7ª classe;

7. Calcule: 3 dividido por 3, dá 1; escreva 1 no lugar do 3 (unidade da 1ª classe). O quociente 1 indica o fim da fatoração.

Portanto, os fatores primos de 12, escritos na 7ª classe, são: 2*2*3 ou 2\2*3.

2º Exemplo. Fatorar o número 18.

1. Escreva 18 na 1ª classe;

2. O menor primo divisor de 18 é 2; escreva 2 na centena da 7ª classe;

3. Calcule: 18 dividido por 2, dá 9; escreva 9 no lugar do 8 e apague o 1; o quociente 9 será o próximo dividendo;

4. O menor primo divisor de 9 é 3; escreva 3 na dezena da 7ª classe;

5. Calcule: 9 dividido por 3, dá 3; escreva 3 no lugar do 9; o quociente 3 será o próximo dividendo;

6. O menor primo divisor de 3 é 3; escreva 3 na unidade da 7ª classe;

7. calcule: 3 dividido por 3 dá 1; escreva 1 no lugar do 3 (unidade da 1ª classe).

Portanto, os fatores primos de 18, escritos na 7ª classe, são: 2*3*3 ou 2*3\2.

3º Exemplo. Fatorar o número 36.

1. Escreva 36 na 1ª classe;

2. O menor primo divisor de 36 é 2; escreva 2 na centena da 7ª classe;

3. Calcule: 3 dividido por 2, dá 1 e resto 1; escreva 1 no lugar do 3 (dezena da 1ª classe) e memorize o resto 1, para formar o número 16 com o algarismo das unidades;

4. Calcule: 16 dividido por 2, dá 8; escreva 8 no lugar do 6 (unidade da 1ª classe); o quociente 18 será o próximo dividendo;

5. O menor primo divisor de 18 é 2; escreva 2 na dezena da 7ª classe;

6. Calcule: 18 dividido por 2, dá 9; escreva 9 no lugar do 8 (unidade) e apague 1 (dezena da 1ª classe); o quociente 9 será o próximo dividendo;

7. O menor primo divisor de 9 é 3; escreva 3 na unidade da 7ª classe;

8. calcule: 9 dividido por 3, dá 3; escreva 3 no lugar do 9 (unidade da 1ª classe); o quociente 3 será o próximo dividendo;

8. O menor primo divisor de 3 é 3; escreva 3 na centena da 6ª classe;

9. calcule: 3 dividido por 3, dá 1; escreva 1 no lugar do 3 (unidade da 1ª classe).

Portanto, os fatores primos de 36, escritos no lado esquerdo do sorobã, são: 2*2*3*3 ou, 2\2*3\2.

4º Exemplo. Fatorar o número 285.

1. Escreva 285 na 1ª classe;

2. O menor primo divisor de 285 é 3; escreva 3 na centena da 7ª classe;

3. calcule: 28 dividido por 3, dá 9 e resto 1; escreva 9 no lugar do 8 (dezena da 1ª classe), apague o 2 à esquerda dele e memorize o resto 1, para formar o número 15 com o algarismo das unidades; calcule: 15 dividido por 3, dá 5; escreva 5 no lugar do 5 (já está escrito); 95 será o próximo dividendo;

4. O menor primo divisor de 95 é 5; escreva 5 na dezena da 7ª classe;

5. calcule: 9 dividido por 5, dá 1 e resto 4; escreva 1 no lugar do 9 (dezena da 1ª classe) e memorize o resto 4, para formar o número 45, com o algarismo das unidades; calcule: 45 dividido por 5, dá 9 e resto 0; escreva 9 no lugar do 5; o quociente 19 será o próximo dividendo;

6. O menor primo divisor de 19 é 19; escreva 19 na centena e dezena da 6ª classe;

7. Calcule: 19 dividido por 19, dá 1 e resto 0; escreva 1 no lugar do 19 (unidade da 1ª classe).

Portanto, os fatores primos de 285, escritos na 7ª e 6ª classes, são: 3*5*19.

Para evitar qualquer confusão, escrevemos no sorobã os fatores primos formados de mais de um algarismo, com uma ordem vaga, separando estes dos fatores de um só algarismo.

5º Exemplo. Fatorar simultaneamente os números: 28 e 40.

1. Escreva 28 e 40 na 2ª e na 1ª classes, respectivamente;

2. O menor primo divisor comum de 28 e 40 é 2; escreva 2 na centena da 7ª classe;

3. Divida 28 por 2 e encontrará 14 na 2ª classe; divida 40 por 2 e encontrará 20 na 1ª classe;

4. O menor primo divisor comum de 14 e 20 é 2; escreva 2 na dezena da 7ª classe;

5. Divida 14 por 2 e encontrará 7 na 2ª classe; divida 20 por 2 e encontrará 10 na 1ª classe;

6. Agora, somente o 10 é divisível por 2; escreva 2 na unidade da 7ª classe;

7. Divida 10 por 2 e encontrará 5 na 1ª classe;

8. O menor primo divisor de 5 é 5; escreva 5 na centena da 6ª classe;

9. Divida 5 por 5 e encontrará 1 na 1ª classe;

10. O menor primo divisor de 7 é 7; escreva 7 na dezena da 6ª classe;

11. Divida 7 por 7 e encontrará 1 na 2ª classe.

Os quocientes 1 e 1, escritos no lado direito do sorobã, indicam o fim da fatoração simultânea.

Portanto, os fatores primos comuns e não comuns de 28 e 40, escritos no lado esquerdo do sorobã, são: 2*2*2*5*7 ou 2\3*5*7.

6º Exemplo. Fatorar simultaneamente os números: 12, 32 e 75.

1. Escreva 12, 32 e 75, respectivamente na 3ª, 2ª e 1ª classes;

2. O menor primo divisor comum de 12 e 32 é 2; escreva 2 na centena da 7ª classe;

3. Divida 12 e 32 por 2 e encontrará 6 na 3ª classe e 16 na 2ª;

4. 6 e 16 são divisíveis por 2; escreva 2 na dezena da 7ª classe;

5. Divida 6 e 16 por 2 e encontrará 3 na 3ª classe e 8 na 2ª;

6. Agora temos os dividendos 3, 8 e 75; somente o 8 é divisível por 2; escreva 2 na unidade da 7ª classe;

7. Divida 8 por 2 e encontrará 4 na 2ª classe;

8. 4 é divisível por 2; escreva 2 na centena da 6ª classe;

9. Divida 4 por 2 e encontrará 2 na 2ª classe;

10. 2 é divisível por 2; escreva 2 na dezena da 6ª classe;

11. Divida 2 por 2 e encontrará 1 na 2ª classe;

12. Agora temos como dividendos 3 na 3ª classe e 75 na 1ª; o menor primo divisor comum de 3 e 75 é 3; escreva 3 na unidade da 6ª classe;

13. Divida 3 e 75 por 3 e encontrará 1 na 3ª classe e 25 na 1ª;

14. Agora, só temos o dividendo 25; o menor primo divisor de 25 é 5;

escreva 5 na centena da 5ª classe;

15. Divida 25 por 5 e encontrará 5 na 1ª classe;

16. O menor primo divisor de 5 é 5; escreva 5 na dezena da 5ª classe;

17. Divida 5 por 5 e encontrará 1 na 1ª classe.

Portanto, os fatores primos comuns e não comuns de 12, 32 e 75, escritos no lado esquerdo do sorobã, são: 2*2*2*2*2*3*5*5 ou 2\5*3*5\2.


CAPÍTULO 9

MÁXIMO DIVISOR COMUM

PRELIMINARES

1. De duas formas, podemos calcular o máximo divisor comum de dois ou mais números: pelo processo das divisões sucessivas e pelo processo da fatoração.

2. O MDC pelas divisões sucessivas, é igual ao divisor da última divisão, isto é, da divisão exata.

Portanto, nas divisões sucessivas, quando chegarmos a uma divisão exata, o seu divisor será o MDC dos números trabalhados.

3. O MDC pela fatoração é igual ao produto dos fatores primos comuns, elevados aos menores expoentes.

4. Podemos calcular o MDC, fatorando os números separadamente ou simultaneamente.

5. A fatoração simultânea permite maior rapidez no cálculo do MDC.

6. A fatoração simultânea para o cálculo do MDC só deve continuar, enquanto houver fator primo comum a todos os dividendos.

Quando não mais houver fator primo comum a todos os dividendos, interrompe-se a fatoração.

O produto dos fatores primos até ali encontrados, será o MDC dos números fatorados.

7. Para maior segurança na aprendizagem das técnicas de cálculo do MDC e desenvolvimento de sua agilidade no sorobã, repita a execução dos exemplos aqui apresentados, elabore você próprio e execute outros exercícios deste cálculo.

PRÁTICA DO CÁLCULO

1º Exemplo. Calcular o MDC de 32 e 12. Divisões sucessivas.

1. Escreva 32 na 1ª classe e 12 na 3ª;

2. Divida 32 por 12, assim: 32 dividido por 12, dá 2; escreva 2 na 2ª classe;

3. Multiplique o quociente 2 pelo divisor 12 e encontrará 24;

subtraia 24 do dividendo 32 e encontrará o resto 8 no lugar do 32 (1ª classe);

4. Escreva o resto 8 na 5ª classe como próximo divisor;

5. Calcule: 12 dividido por 8, dá 1; escreva 1 na 4ª classe;

6. Multiplique o quociente 1 pelo divisor 8 e encontrará 8; subtraia 8 do dividendo 12 e encontrará o resto 4 no lugar do 12 (3ª classe);

7. Escreva o resto 4 na 7ª classe como próximo divisor;

8. Calcule: 8 dividido por 4, dá 2; escreva 2 na 6ª classe;

9. Multiplique o quociente 2 pelo divisor 4 e encontrará 8; subtraia 8 do dividendo 8 e encontrará o resto 0 no lugar do 8 (5ª classe).

O resto 0 indica o fim do cálculo.

Portanto, MDC de 32 e 12 = 4 (por ser 4 o divisor da divisão exata).

2º Exemplo. Calcular o MDC de 40, 16 e 12. Divisões sucessivas.

1. Escreva 40 na 1ª classe e 16 na 3ª; 2. Seguindo o exemplo anterior, divida 40 por 16 e encontrará 2 na 2ª classe e resto 8 no lugar do 40 (1ª classe);

3. Escreva o resto 8 na 5ª classe como próximo divisor;

4. Divida 16 por 8 e encontrará 2 na 4ª classe e resto 0 no lugar do 16 (3ª classe);

Portanto, o MDC dos 2 primeiros números é 8;

5. Apague os números já trabalhados no sorobã, deixando o 8 da 5ª classe;

6. Escreva 12 na 1ª classe (último número a ser trabalhado) e transfira 8 da 5ª para a 3ª classe como próximo divisor;

7. Divida 12 por 8 e encontrará 1 na 2ª classe e resto 4 no lugar do 12 (1ª classe);

8. Escreva o resto 4 na 5ª classe como próximo divisor;

9. Divida 8 por 4 e encontrará 2 na 4ª classe e resto 0 no lugar do 8 (3ª classe).

Portanto, MDC de 40, 16 e 12 = 4 (que é o divisor da última divisão exata).

3º Exemplo. Calcular o MDC de 87, 42 e 18. Divisões sucessivas.

1. Escreva 87 na 1ª classe e 42 na 3ª;

2. Divida 87 por 42 e encontrará 2 na 2ª classe e resto 3 no lugar do 87 (1ª classe);

3. Escreva o resto 3 na 5ª classe como próximo divisor;

4. Divida 42 por 3 e encontrará 14 na 4ª classe e resto 0 no lugar do 42 ( 3ª classe);

3 é o MDC dos dois primeiros números;

5. Apague os números já trabalhados no sorobã, deixando o 3 da 5ª classe;

6. Escreva 18 na 1ª classe (último número a ser trabalhado) e transfira 3 da 5ª para a 3ª classe como próximo divisor;

7. Divida 18 por 3 e encontrará 6 na 2ª classe e resto 0 no lugar do 18 (1ª classe).

Portanto, MDC de 87, 42 e 18 = 3 (que é o divisor da última divisão exata).

4º Exemplo. Calcular o MDC de 46, 18 e 12. Divisões sucessivas.

1. Escreva 46 na 1ª classe e 18 na 3ª;

2. Divida 46 por 18 e encontrará o quociente 2 na 2ª classe e o resto 10 no lugar do 46 (1ª classe);

3. Escreva o resto 10 na 5ª classe como próximo divisor;

4. Divida 18 por 10 e encontrará o quociente 1 na 4ª classe e o resto 8 no lugar do 18 (3ª classe);

5. Escreva o resto 8 na 7ª classe como próximo divisor;

6. Divida 10 por 8 e encontrará o quociente 1 na 6ª classe e o resto 2 no lugar do 10 (5ª classe);

7. Apague os números já trabalhados, deixando o 8 da 7ª e o 2 da 5ª classe;

8. Transfira o 8 da 7ª para a 1ª classe como próximo dividendo e o 2 da 5ª para a 3ª classe como divisor;

9. Divida 8 por 2 e encontrará o quociente 4 na 2ª classe e o resto 0 no lugar do 8 (1ª classe);

Portanto, 2 é o MDC dos dois primeiros números;

10. Apague o quociente 4 da 2ª classe, deixando o divisor 2 na 3ª;

11. Escreva 12 (último número a ser trabalhado) na 1ª classe;

12, Divida 12 por 2 e encontrará o quociente 6 na 2ª classe e o resto 0 no lugar do 12 (1ª classe).

Portanto, MDC de 46, 18 e 12 = 2 (que é o divisor da última divisão exata).

5º Exemplo. Calcular o MDC de 12 e 18. Fatoração em separado.

1. Calcule os fatores primos de 12 e encontrará: 2*2*3 ou 2\2*3;

2. Calcule os fatores primos de 18 e os escreva com uma ordem vaga, para separá-los dos fatores do número anterior; encontrará: 2*3*3 ou 2*3\2;

3. Identifique os fatores primos comuns, elevados aos menores expoentes, e encontrará 2 e 3;

4. Multiplique estes fatores e encontrará 6.

Portanto, MDC de 12 e 18 = 6.

6º Exemplo. Calcular o MDC de 20 e 50. Fatoração em separado.

1. Fatore o número 20 e encontrará: 2*2*5 ou 2\2*5;

2. Fatore o número 50 e encontrará: 2*5*5 ou 2*5\2;

3. Identifique os fatores primos comuns, elevados aos menores expoentes, e encontrará 2 e 5;

4. Multiplique 2 por 5 e encontrará 10.

Portanto, MDC de 20 e 50 = 10.

7º Exemplo. Calcular o MDC de 8, 12 e 28. Fatoração simultânea.

1. Escreva 8, 12 e 28, respectivamente na 3ª, 2ª e 1ª classes;

2. O menor primo divisor comum de 8, 12 e 28 é 2; escreva 2 na centena da 7ª classe;

3. Divida 8, 12 e 28 por 2, em seus lugares, e encontrará 4, 6 e 14;

4. 4, 6 e 14 são divisíveis por 2; escreva 2 na dezena da 7ª classe;

5. Divida 4, 6 e 14 por 2 e encontrará 2, 3 e 7.

2, 3 e 7 não admitem divisor comum; por isso, para o cálculo do MDC, está terminada a fatoração simultânea.

Os fatores primos encontrados são: 2 e 2.

6. Multiplique estes fatores e encontrará 4.

Portanto, MDC de 8, 12 e 28 = 4.

8º Exemplo. Calcular o MDC de 18 e 48. Fatoração simultânea.

1. Escreva 18 na 2ª classe e 48 na 1ª;

2. O menor primo divisor comum de 18 e 48 é 2; escreva 2 na centena da 7ª classe;

3. Divida 18 e 48 por 2, em seus lugares, e encontrará 9 e 24;

4. O menor primo comum divisor de 9 e 24 é 3; escreva 3 na dezena da 7ª classe;

5. Divida 9 e 24 por 3 e encontrará 3 e 8;

3 e 8 não admitem divisor comum; por isso, para o cálculo do MDC, está terminada a fatoração simultânea;

Os fatores primos encontrados são: 2 e 3;

6. Multiplique estes fatores e encontrará 6.

Portanto, MDC de 18 e 48 = 6.


CAPÍTULO 10

MÍNIMO MÚLTIPLO COMUM

PRELIMINARES

1. O menor múltiplo comum de dois ou mais números, é o produto de seus fatores primos comuns e não comuns, elevados aos maiores expoentes.

2. Podemos calcular o MMC, fatorando os números separadamente ou simultaneamente.

3. A fatoração simultânea permite maior rapidez no cálculo do MMC.

4. Ao contrário do que acontece no cálculo do MDC, a fatoração simultânea para o cálculo do MMC, deve chegar ao fim, isto é, ao quociente 1, em todas as divisões. O produto dos fatores primos encontrados, será o MMC dos números fatorados.

5. Para maior segurança na aprendizagem das técnicas de cálculo do MMC e desenvolvimento de sua agilidade no sorobã, repita a execução dos exemplos aqui apresentados, elabore você próprio e execute outros exercícios deste cálculo.

PRÁTICA DO CÁLCULO

1º Exemplo. Calcular o MMC de 18 e 32. Fatoração em separado.

1. Fatore o número 18 e encontrará 2*3*3 ou 2*3\2, na 7ª classe;

2. Fatore o número 32, escrevendo seus fatores, com uma ordem vaga, para separá-los dos fatores do número anterior; encontrará 2*2*2*2*2 ou 2\5 (ocupando dezena e unidade da 6ª classe e toda a 5ª classe);

3. Identifique os fatores primos comuns e não comuns, elevados aos maiores expoentes, e encontrará: 2\5 e 3\2;

4. Multiplique estes fatores e encontrará 288.

Portanto, MMC de 18 e 32 = 288.

2º Exemplo. Calcular o MMC de 12 e 28. Fatoração em separado.

1. Fatore o 12 e encontrará 2*2*3 ou 2\2*3;

2. Fatore o número 28 e encontrará: 2*2*7 ou 2\2*7;

3. Identifique os fatores primos comuns e não comuns, elevados aos maiores expoentes, e encontrará: 2\2, 3 e 7;

4. Multiplique estes fatores e encontrará 84.

Portanto, MMC de 12 e 28 = 84.

3º Exemplo. Calcular o MMC de 12 e 28. Fatoração simultânea.

1. Escreva 12 na 2ª classe e 28 na 1ª;

2. O menor primo divisor de 12 e de 28 é 2; escreva 2 na centena da 7ª classe;

3. Divida 12 e 28 por 2, em seus lugares, e encontrará 6 e 14;

4. 6 e 14 são divisíveis por 2; escreva 2 na dezena da 7ª classe;

5. Divida 6 e 14 por 2 e encontrará 3 e 7;

6. O menor primo divisor de 3 é 3; escreva 3 na unidade da 7ª classe;

7. Divida 3 por 3 e encontrará 1 na 2ª classe;

8. O menor primo divisor de 7 é 7; escreva 7 na centena da 6ª classe;

9. Divida 7 por 7 e encontrará 1 na 1ª classe;

Os quocientes 1 e 1, no lado direito do sorobã, indicam o fim da fatoração simultânea;

Os fatores primos encontrados são, pois, 2*2*3*7 ou 2\2*3*7;

10. Multiplique estes fatores e encontrará 84.

Portanto, MMC de 12 e 28 = 84.

4º Exemplo. Calcular o MMC de 8, 12 e 18. Fatoração simultânea.

1. Escreva 8, 12 e 18, respectivamente na 3ª, 2ª e 1ª classes;

2. O menor primo divisor de 8, 12 e 18 é 2; escreva 2 na centena da 7ª classe;

3. Divida 8, 12 e 18, em seus lugares, e encontrará 4, 6 e 9 na 3ª, 2ª e 1ª classes;

4. 4 e 6 são divisíveis por 2; escreva 2 na dezena da 7ª classe;

5. Divida 4 e 6 por 2 e encontrará 2 e 3 na 3ª e 2ª classes;

6. 2 é divisível por 2; escreva 2 na unidade da 7ª classe;

7. Divida 2 por 2 e encontrará 1 na 3ª classe;

8. O menor primo divisor de 3 e 9 é 3; escreva 3 na centena da 6ª classe;

9. Divida 3 e 9 por 3 e encontrará 1 na 2ª e 3 na 1ª classes;

10. 3 é divisível por 3; escreva 3 na dezena da 6ª classe;

11. Divida 3 por 3 e encontrará 1 na 1ª classe;

Os fatores primos encontrados são: 2*2*2*3*3 ou 2\3*3\2;

12. Multiplique estes fatores e encontrará 72.

Portanto, MMC de 8, 12 e 18 = 72.


CAPÍTULO 11

NUMERAÇÃO FRACIONÁRIA

Em capítulos anteriores, tratamos das operações com números inteiros e decimais, Fatoração, MDC e MMC.

A partir do próximo capítulo, trataremos das operações com frações ordinárias, seguindo depois com as demais operações citadas no final do capítulo 1.

Numa perspectiva de preparação para essa nova fase, abordaremos neste capítulo algumas noções e regras que podem facilitar a aprendizagem e prática das operações com números fracionários.

PRELIMINARES

1. Podemos dividir o inteiro em qualquer número de partes iguais e com essas partes realizar diversos cálculos, conforme a necessidade. É a essas partes iguais que chamamos frações ordinárias.

2. Para representarmos graficamente uma fração ordinária, escrevemos dois números separados por uma barra, em que um deles indica em quantas partes o inteiro foi dividido e o outro indica quantas dessas partes foram tomadas: 1 pão dividido para 4 pessoas, cada pessoa deve receber 1/4 (um quarto) do pão.

O número abaixo da barra, o 4, chamado denominador, indica que o pão foi dividido em 4 partes iguais, enquanto o número acima da barra, o 1, chamado numerador, indica que das 4 partes,uma foi tomada.

Se juntarmos as 4 partes, teremos o equivalente ao inteiro.

3. Os denominadores dão nome às partes fracionadas enumeradas pelos numeradores:

2 - denomina meios 3 - denomina terços 4 - denomina quartos 5 - denomina quintos 6 - denomina sextos 7 - denomina sétimos 8 - denomina oitavos 9 - denomina nonos 10- denomina décimos 11- denomina 11 avos 12- denomina 12 avos

(A partir do denominador 11, fala-se o cardinal seguido da palavra avos).

4. Fração ordinária própria - numerador menor que denominador: 2/4 (2<4).

5. Fração ordinária imprópria - numerador igual ou maior que denominador: 5/5, 9/7 (5=5, 9>7).

6. Fração aparente, é a fração imprópria, cujo numerador é múltiplo do denominador: 5/5, 12/4, etc.

Nas frações aparentes, dividindo-se o numerador pelo denominador, o quociente será inteiros e o resto 0, desaparecendo portanto, a fração.

7. Quando o numerador é igual ao denominador, a fração imprópria aparente equivale a 1: 5/5=1.

8. Quando o numerador é maior que o denominador mas não múltiplo deste, a fração imprópria equivale a um número misto: 8/5 = 1 3/5.

9. Frações equivalentes têm o mesmo valor, embora escritas com números diferentes: 2/3, 4/6 e 14/21, são equivalentes.

Simplificando as frações equivalentes, elas se tornam perfeitamente iguais em grafia.

10. Nos trabalhos de cálculo da adição e da subtração de frações, quando estas não têm o mesmo denominador, devemos substituí-las por frações equivalentes de denominadores iguais.

Para fazermos esta substituição, calculamos o MMC dos denominadores, que será o denominador comum das frações equivalentes procuradas.

A seguir, dividimos o denominador comum por cada denominador das frações originais e multiplicamos o resultado por cada numerador original, para obter o numerador de cada fração equivalente.

11. Multiplicando-se ou dividindo-se ambos os termos de uma fração pelo mesmo número, a fração não se altera no seu valor; obtem-se uma fração equivalente, escrita com outros números:

4/12 - Se multiplicarmos 4 e 12 por 2, teremos: 8/24; se dividirmos 4 e 12 por 2, teremos: 2/6.

Portanto, 4/12, 8/24 e 2/6, são frações equivalentes, isto é, de igual valor.

12. Multiplicando-se o numerador por um número inteiro, o valor da fração fica multiplicado por esse número.

13. Dividindo-se o numerador por um número inteiro, o valor da fração fica dividido por esse número.

14. Multiplicando-se o denominador por um número inteiro, o valor da fração fica dividido por esse número.

15. Dividindo-se o denominador por um número inteiro, o valor da fração fica multiplicado por esse número.

16. Para dividir um número inteiro por uma fração, multiplica-se o inteiro pelo denominador e dá-se o produto para numerador do quociente; o denominador do quociente será o numerador da fração. Na prática sorobã, isto se faz escrevendo o inteiro na 7ª classe, a fração divisor em relação ao ponto 5, com os termos invertidos, e aplicando-se a técnica da divisão de frações.

17. Quando o denominador de uma fração for o número 1, o valor da fração é igual ao número inteiro, que constitui o numerador: 4/1=4 (4 sobre 1 é igual a 4 inteiros).

18. Simplificar uma fração é substituí-la por outra equivalente, escrita com os menores números possíveis.

Em dois casos, a fração é considerada simplificada:

a) quando os termos são números primos;

b) quando os termos são primos entre si.

19. Podemos simplificar facilmente uma fração no sorobã, de duas maneiras:

19.1 Pelas divisões sucessivas de ambos os termos por um mesmo número, até torná-los primos ou primos entre si.

Neste caso, escrevemos a fração original em relação ao ponto 1 e o divisor na 7ª classe. Durante a operação, a fração original desaparece, para dar lugar às frações transitórias resultantes das diversas divisões. Por isso, é bom registrá-la no papel ou no lado esquerdo de um outro sorobã, transferindo para lá as frações transitórias, até chegar à fração simplificada. Não havendo interesse de registrar as frações transitórias, você poderá, antes de realizar as divisões, registrar a fração original em relação ao ponto 5, para não esquecê-la.

19.2 Pelo MDC, isto é, dividindo ambos os termos da fração original por seu MDC.

20. Número misto = inteiro junto à fração: 4 2/7 (4 inteiros e 2 sétimos).

O número misto sempre corresponde a uma fração imprópria.

21. Para transformar uma fração imprópria em número misto, isto é, extrair os inteiros, basta dividir o numerador pelo denominador; o quociente encontrado será os inteiros e o resto será o numerador da fração própria, que terá o mesmo denominador.

Quando nesta divisão o resto for igual a 0, a fração desaparece, ficando apenas os inteiros, porque se trata de fração aparente.

22. Para transformar um número misto numa fração imprópria, basta multiplicar os inteiros pelo denominador e adicionar o produto ao numerador, conservando o mesmo denominador.

23. Em dois casos, podemos calcular a fração ordinária equivalente a determinado número decimal:

23.1 Decimal íntegro. Escrevemos o decimal no lado esquerdo do sorobã e a fração no lado direito, dando para numerador o número decimal sem o sinal decimal e, para denominador, o número 1, seguido de tantos zeros quantas forem as ordens decimais do referido número.

Depois, simplificamos a fração e extraímos os inteiros, se for o caso.

23.2 Dízima periódica. Escrevemos o decimal no lado esquerdo do sorobã e a fração no lado direito, dando para numerador o número decimal com o período uma vez menos a parte não periódica e, para denominador, tantos noves quantos forem os algarismos do período, seguidos de tantos zeros quantas forem as ordens decimais não periódicas.

24. Para calcular o número decimal equivalente a determinada fração ordinária, escrevemos o numerador na 1ª classe do sorobã como dividendo e o denominador na 7ª como divisor. A seguir, aplicamos as técnicas da divisão.

Os Quocientes encontrados e escritos no meio do sorobã, formarão o número decimal procurado.

Se a fração for própria, o quociente da 1ª divisão será a 1ª ordem decimal.

Se a fração for imprópria, o quociente da 1ª divisão será inteiros;

os demais quocientes serão as ordens decimais.

Consulte no capítulo 7, os exemplos de divisão para completar o quociente.

Antes de efetuar as divisões para encontrar o número decimal procurado, é bom registrar a fração ordinária em relação ao ponto 5, para não esquecê-la.

25. Para calcular a potência de uma fração, escrevemos a fração base no lado esquerdo do sorobã e realizamos os cálculos no lado direito: 1º trabalhamos o denominador na 1ª classe; 2º trabalhamos o numerador na 2ª classe.

Quando os termos da fração base forem constituídos de números baixos, você poderá optar pela não aplicação da técnica de cálculo e já escrever no lado direito do sorobã a fração potência.

26. Para calcular a raiz de uma fração, escrevemos a fração radicando no lado direito do sorobã. Trabalhamos primeiro o numerador, escrevendo sua raiz na 7ª classe. A seguir, trabalhamos o denominador, escrevendo sua raiz na 6ª classe. O ponto 6 da régua será a barra da fração raiz.

Quando os termos da fração radicando forem constituídos de números baixos, você poderá optar pela não aplicação da técnica de cálculo, escrevendo já no lado esquerdo do sorobã a fração raiz.

27. Os trabalhos de cálculo com frações, exigem muito espaço. Por isso, é útil usar dois sorobãs ou, então, o lápis ou a reglete, para registrar os números durante a operação, conforme a necessidade.

28. Para maior segurança na aprendizagem das técnicas de cálculo e treinamento de sua agilidade no sorobã, repita a execução dos exemplos abaixo, elabore você próprio e execute outros exercícios semelhantes.

PRÁTICA DO CÁLCULO

1º Exemplo. Simplificar a fração 8/36, pelas divisões sucessivas.

1. Escreva 8/36 no lado direito do sorobã;

2. registre 8/36 em relação ao ponto 5.

3. 2 é divisor de 8 e de 36; escreva 2 na unidade da 7ª classe;

4. Divida 8 e 36 por 2, em seus respectivos lugares, e encontrará 4/18 em relação ao ponto 1;

5. Divida 4 e 18 por 2 e encontrará 2/9 em relação ao ponto 1.

Portanto, fração simplificada equivalente a 8/36 = 2/9.

2º Exemplo. Simplificar a fração 8/48, pelas divisões sucessivas.

1. Escreva 8/48 no lado direito do sorobã;

2. Registre 8/48 em relação ao ponto 5;

3. 2 é divisor de 8 e de 48; escreva 2 na unidade da 7ª classe;

4. Divida 8 e 48 por 2, em seus respectivos lugares, e encontrará 4/24 em relação ao ponto 1;

5. Divida 4 e 24 por 2 e encontrará 2/12 em relação ao ponto 1;

6. Divida 2 e 12 por 2 e encontrará 1/6 em relação ao ponto 1.

Portanto, fração simplificada equivalente a 8/48 = 1/6.

3º Exemplo. Simplificar a fração 16/56, pelo MDC.

1. Calcule o MDC de 16 e 56 e encontrará 8; escreva 8 na 7ª classe;

2. Escreva 16/56 no lado direito do sorobã;

3. Registre 16/56 em relação ao ponto 5;

4. Divida 16 e 56 por seu MDC, 8, e encontrará 2/7 em relação ao ponto 1.

Portanto, fração simplificada equivalente a 16/56 = 2/7.

4º Exemplo. Transformar 3 2/7 em fração imprópria.

1. Escreva 3 na 3ª classe, 2 na 2ª e 7 na 1ª;

2. Com a mão esquerda sobre o 3 e a direita sobre o 7, calcule: 7x3=21;

3. Adicione o produto 21 ao numerador 2 e encontrará 23 na 2ª classe; apague o 3 da 3ª classe.

Portanto, a fração 23/7 é a imprópria correspondente ao misto 3 2/7.

5º Exemplo. Extrair os inteiros da fração 8/3.

1. Escreva 8/3 em relação ao ponto 1 da régua;

2. Calcule: 8 dividido por 3, dá 2; escreva o quociente 2 na 3ª classe, para inteiros;

3. Multiplique os inteiros pelo denominador : 3x2=6;

4. Subtraia o produto encontrado do numerador: 6 para 8=2; escreva 2 no lugar do 8 (2ª classe).

Portanto, 2 2/3 é o misto equivalente à fração imprópria 8/3.

6º Exemplo. Substituir 2/3 e 4/5, por frações equivalentes, de denominadores iguais.

1. Calcule o MMC de 3 e 5 e encontrará 15; escreva 15 na 1ª classe do sorobã, para denominador comum das frações equivalentes procuradas;

2. Divida o denominador comum 15 pelo denominador 3 e encontrará o quociente 5;

3. Multiplique o quociente 5 pelo numerador 2 e encontrará 10; escreva 10 na 7ª classe, para novo numerador da 1ª fração;

4. Divida o denominador comum 15 pelo denominador 5 e encontrará o quociente 3;

5. Multiplique o quociente 3 pelo numerador 4 e encontrará 12;

escreva 12 na 6ª classe, para novo numerador da 2ª fração, conservando o denominador comum 15 na 1ª classe, porque ele está valendo para os dois numeradores.

Portanto, 10/15 e 12/15 são frações de denominadores iguais, equivalentes às frações 2/3 e 4/5.

7º Exemplo. Calcular o número decimal equivalente a 3/8.

1. Escreva 3 na 1ª classe como dividendo e 8 na 7ª como divisor;

2. Registre a fração 3/8 em relação ao ponto 5, para não esquecê-la;

3. Acrescente 0 ao 3, escrevendo 30 na 1ª classe, para possibilitar a divisão;

4. Divida 30 por 8 e encontrará 3 e resto 6; transfira o quociente 3 para a centena da 3ª classe (1ª ordem decimal) e acrescente 0 ao resto 6, escrevendo 60 na 1ª classe;

5. Divida 60 por 8 e encontrará 7 e resto 4; transfira o quociente 7 para a dezena da 3ª classe e acrescente 0 ao resto 4, escrevendo 40 na 1ª classe;

6. Divida 40 por 8 e encontrará 5 e resto 0; transfira o quociente 5 para a unidade da 3ª classe.

Portanto, 3/8 = 0,375.

8º Exemplo. Calcular a fração ordinária equivalente a 2,8.

1. Escreva 2,8 em relação ao ponto 6;

2. para numerador, escreva 28 na 2ª classe (o número decimal sem o sinal decimal);

3. Para denominador, escreva 10 na 1ª classe, isto é, o número 1 (seguido de um zero, porque o número 2,8 tem uma ordem decimal); 28/10 é a fração procurada;

4. Simplifique 28/10 e encontrará 14/5;

5. Extraia os inteiros e encontrará 2 4/5.

Portanto, 2,8 = 2 4/5.

9º Exemplo. Calcular a fração ordinária equivalente a 2,666...

1. Escreva 2,666 em relação ao ponto 6;

2. Para numerador, escreva 26 na 2ª classe, isto é, o número decimal com o período uma vez;

3. De 26 subtraia 2, isto é a parte não periódica, e encontrará 24 na 2ª classe; 24 é o numerador;

4. Para denominador, escreva 9 na 1ª classe, porque o período só tem um algarismo e o número não tem ordens decimais não periódicas; 24/9 é a fração procurada;

5. Simplifique 24/9 e encontrará 8/3;

6. Extraia os inteiros e encontrará 2 2/3.

Portanto, 2,666... = 2 2/3.

10º Exemplo. Calcular a fração ordinária equivalente a 2,4333...

1. Escreva 2,4333 em relação ao ponto 6;

2. Para numerador, escreva 243 na 2ª classe, isto é, o número decimal com o período uma vez;

3. De 243, subtraia 24, isto é, a parte não periódica, e encontrará 219 na 2ª classe; 219 é o numerador;

4. Para denominador, escreva 90 na 1ª classe (um nove, porque o período tem um algarismo, e um zero, porque o número tem uma ordem decimal não periódica); 219/90 é a fração procurada;

5. Simplifique 219/90 e encontrará 73/30;

6. Extraia os inteiros e encontrará 2 13/30.

Portanto, 2,4333... = 2 13/30.

11º Exemplo. Calcular o quadrado de 3/14.

1. Escreva 3/14 em relação ao ponto 6;

2. Escreva 14 com três ordens vagas no lado direito do sorobã;

3. Multiplique o denominador 14 por 14 e encontrará 196 na 1ª classe, para denominador da potência;

4. Escreva 3 com duas ordens vagas na 2ª classe;

5. Multiplique o numerador 3 por 3 e encontrará 9 na 2ª classe, para numerador da potência.

Portanto, quadrado de 3/14=9/196.

12º Exemplo. Calcular o cubo de 2/7.

1. Escreva 2/7 em relação ao ponto 6. 2. Escreva 7 na 5ª classe e também no lado direito do sorobã, com quatro ordens vagas, isto é, na dezena da 2ª classe;

3. Multiplique o denominador 7 pelo 7 da 2ª classe e encontrará 49, com duas ordens vagas na 1ª classe;

4. Multiplique o 7 da 5ª classe pelo 49 e encontrará 343 na 1ª classe; 343 é o denominador da potência;

5. Apague o 7 da 5ª classe;

6. Escreva 2 na 5ª classe e também na dezena da 3ª classe, isto é, com quatro ordens vagas em relação ao ponto 1;

7. Multiplique o numerador 2 pelo 2 da 3ª classe e encontrará 4, com duas ordens vagas na 2ª classe;

8. Multiplique o 2 da 5ª classe pelo 4 e encontrará 8 na 2ª classe;

8 é o numerador da potência.

portanto, cubo de 2/7=8/343.

13º Exemplo. Calcular: Raiz quadrada de 49/144=7/12 e resto 0.

1. Escreva 49/144 no lado direito do sorobã;

2. Calcule a raiz quadrada de 49 e encontrará 7 na 7ª classe e resto 0 na 2ª classe; 7 é o numerador da fração raiz;

3. Calcule a raiz quadrada de 144 e encontrará 12 na 6ª classe e 0 na 1ª; 12 é o denominador da fração raiz.

Portanto, raiz quadrada de 49/144=7/12 e resto 0.


CAPÍTULO 12

ADIÇÃO DE FRAÇÕES

PRELIMINARES

1. Só podemos adicionar frações que tenham o mesmo denominador.

2. Quando as frações têm denominadores diferentes, elas devem ser substituídas por frações equivalentes, que tenham o mesmo denominador.

Consulte capítulo 11, Preliminares nº 10.

3. Escrevemos os numeradores no lado esquerdo do sorobã e o denominador comum na 1ª classe.

4. Adicionamos os numeradores na 2ª classe.

Terminada a operação, o ponto 1 da régua será a barra de fração do total.

5. Quando entre as parcelas houver número misto, é bom transformá-lo em fração imprópria, antes de efetuar a adição.

6. Para estudar simplificação de frações, transformação de fração imprópria em número misto e vice-versa, transformação de frações de denominadores diferentes em frações equivalentes de denominadores iguais, transformação de fração ordinária em número decimal e vice-versa, leia o Capítulo 11.

7. Para maior segurança na aprendizagem das técnicas de cálculo da adição de frações e desenvolvimento de sua agilidade no sorobã, repita a execução dos exemplos aqui apresentados, elabore você próprio e execute outros exercícios deste cálculo.

PRÁTICA DO CÁLCULO

1º Exemplo. Calcular: 1/9+2/9+4/9=7/9.

1. Escreva as parcelas numeradores 1, 2 e 4 respectivamente, na 7ª, 6ª e 5ª classes e o denominador 9 na 1ª classe;

2. Adicione as parcelas numeradores na 2ª classe e encontrará 7 (unidade da 2ª classe). Portanto, total = 7/9.

2º Exemplo. Calcular: 1/8+2/8+3/8=6/8=3/4.

1. Escreva os numeradores 1 na 7ª, 2 na 6ª e 3 na 5ª classes e o denominador 8 na 1ª classe;

2. Adicione os numeradores na 2ª classe e encontrará 6; 6/8 é o total;

3. Simplifique 6/8 e encontrará 3/4.

Portanto, total simplificado = 3/4.

3º Exemplo. Calcular:2/12+3/12+4/12=9/12=3/4.

1. Escreva os numeradores 2, 3 e 4 na 7ª, 6ª e 5ª classes do sorobã e o denominador 12 na 1ª classe;

2. Adicione os numeradores na 2ª classe e encontrará 9; 9/12 é o total;

3. Simplifique 9/12 e encontrará 3/4.

Portanto, total simplificado = 3/4.

4º Exemplo. Calcular: 2/3+4/5 = 1 7/15.

1. Substitua 2/3 e 4/5 por frações equivalentes de denominadores iguais e encontrará 10/15 e 12/15; (consulte Capítulo 11, Preliminares nº 10 e Prática do Cálculo, 6º Exemplo);

2. Escreva os numeradores 10 e 12 na7ª e 6ª classes e o denominador comum 15 na 1ª classe;

3. Adicione os numeradores na 2ª classe e encontrará 22; 22/15 é a fração total;

4. Extraia os inteiros e encontrará 1 7/15.

Portanto, total = 1 7/15.

5º Exemplo. Calcular: 1 2/3+4/5 = 2 7/15.

1. Transforme 1 2/3 em fração imprópria e encontrará 5/3;

2. Transforme 5/3 e 4/5 em frações equivalentes de denominadores iguais e encontrará 25/15 e 12/15;

3. Escreva os numeradores 25 e 12 na 7ª e 6ª classes e o denominador comum 15 na 1ª classe;

4. Adicione os numeradores na 2ª classe e encontrará 37; 37/15 é a fração total;

5. Extraia os inteiros e encontrará 2 7/15.

Portanto, total = 2 7/15.


CAPÍTULO 13

SUBTRAÇÃO DE FRAÇÕES

PRELIMINARES

1. Só podemos subtrair frações que tenham denominadores iguais.

2. Quando os denominadores são diferentes, devemos substituir as frações por outras equivalentes de denominadores iguais, como fizemos na adição de frações. Consulte Capítulo 11, preliminares nº 10 e Prática do Cálculo 6º Exemplo.

3. Quando houver número misto nos termos da subtração de frações, transforme-o em fração imprópria.

4.Escrevemos a fração minuendo no lado direito do sorobã e a fração subtraendo no lado esquerdo.

5. Calculamos o resto, trabalhando apenas os numeradores na 2ª classe. O denominador do resto será o denominador comum do minuendo e do subtraendo.

6. Para estudar simplificação de frações, transformação de fração imprópria em número misto e vice-versa, transformação de frações de denominadores diferentes em frações equivalentes de denominadores iguais, transformação de fração ordinária em número decimal e vice-versa, leia o Capítulo 11.

7. Para maior segurança na aprendizagem das técnicas de cálculo da subtração de frações e desenvolvimento de sua agilidade no sorobã, repita a execução dos exemplos aqui apresentados, elabore você próprio e execute outros exercícios deste cálculo.

PRÁTICA DO CÁLCULO

1º Exemplo. Calcular: 7/9-3/9=4/9.

1. Escreva 7/9 em relação ao ponto 1 e 3/9 em relação ao ponto 6;

2. Falando da esquerda para a direita, calcule: 3 para 7, 4; escreva 4 no lugar do 7 (unidade da 2ª classe).

Portanto, resto = 4/9.

2º Exemplo. Calcular: 5/8-3/8=1/4.

1. Escreva 5/8 em relação ao ponto 1 e 3/8 em relação ao ponto 6;

2. Calcule: 3 para 5, 2; escreva 2 no lugar do 5 (unidade da 2ª classe); 2/8 é o resto;

3. Simplifique 2/8 e encontrará 1/4.

Portanto, resto simplificado = 1/4.

3º Exemplo. Calcular: 2 1/4-3/4 = 1 1/2.

1. Transforme 2 1/4 em fração imprópria e encontrará 9/4;

2. Escreva a fração minuendo 9/4 em relação ao ponto 1 e a fração subtraendo 3/4 em relação ao ponto 6;

3. Calcule: 3 para 9, 6; escreva 6 no lugar do 9 (2ª classe); 6/4 é o resto;

4. Simplifique 6/4 e encontrará 3/2;

5. Extraia os inteiros e encontrará 1 1/2.

Portanto, resto = 1 1/2.

4º Exemplo. Calcular: 1 2/3-4/5=13/15.

1. Calcule a fração imprópria equivalente ao misto 1 2/3 e encontrará 5/3;

2. Transforme 5/3 e 4/5 em frações equivalentes de denominadores iguais, e encontrará 25/15 e 12/15;

3. Escreva 25/15 em relação ao ponto 1 e 12/15 em relação ao ponto 6;

4. Calcule: 12 para 25, 13; escreva 13 no lugar do 25 (2ª classe).

Portanto, resto = 13/15.


CAPÍTULO 14

MULTIPLICAÇÃO DE FRAÇÕES

PRELIMINARES

1. Escrevemos as frações multiplicando e multiplicador no lado esquerdo do sorobã, para que o lado direito fique livre para a realização dos cálculos.

2. Multiplicamos os denominadores na 1ª classe e damos o resultado para denominador do produto.

3. Multiplicamos os numeradores na 2ª classe e damos o resultado para numerador do produto.

4. No sorobã, é conveniente multiplicar primeiro os denominadores, porque, se seu produto ultrapassar a ordem das centenas, sem maiores problemas efetuaremos a multiplicação dos numeradores na 3ª classe.

5. Havendo número misto, o transforme em fração imprópria, antes de realizar a multiplicação.

6. Para multiplicar uma fração por um número inteiro, e vice-versa, basta multiplicar o numerador pelo inteiro (e vice-versa) e dar ao produto o mesmo denominador.

7. Para maior segurança na apredizagem das técnicas de cálculo da multiplicação de frações e desenvolvimento de sua agilidade no sorobã, repita a execução dos exemplos aqui apresentados, elabore você próprio e execute outros exercícios deste cálculo.

PRÁTICA DO CÁLCULO

1º Exemplo. Calcular: 1/4*2/5=1/10.

1. Escreva o multiplicando 1/4 em relação ao ponto 6 e o multiplicador 2/5 em relação ao ponto 4;

2. Multiplique os denominadores 4 e 5 na 1ª classe e encontrará 20;

3. Multiplique os numeradores 1 e 2 na 2ª classe e encontrará 2;

4. Simplifique 2/20 e encontrará 1/10.

Portanto, produto = 1/10.

2º Exemplo. Calcular: 2/3*4/7=8/21.

1. Escreva o multiplicando 2/3 em relação ao ponto 6 e o multiplicador 4/7 em relação ao ponto 4;

2. Multiplique os denominadores 3 e 7 na 1ª classe e encontrará 21;

3. Multiplique os numeradores 2 e 4 na 2ª classe e encontrará 8.

Portanto, produto = 8/21.

3º Exemplo. Calcular: 3/5*7 = 4 1/5.

1. Escreva o multiplicando 3/5 em relação ao ponto 6 e o multiplicador 7 na unidade da 5ª classe;

2. Escreva na 1ª classe o denominador 5;

3. Multiplique na 2ª classe o numerador 3 pelo inteiro 7 e encontrará 21; 21/5 é o produto;

4. Extraia os inteiros e encontrará 4 1/5.

Portanto, produto = 4 1/5.

4º Exemplo. Calcular: 2 3/4*5=55/4=13 3/4.

1. Transforme o número misto em fração imprópria e encontrará 11/4;

2. Escreva o multiplicando 11/4 em relação ao ponto 6 e o multiplicador 5 na unidade da 5ª classe;

3. Escreva o denominador 4 na 1ª classe;

4. Multiplique na 2ª classe o numerador 11 pelo inteiro 5 e encontrará 55; 55/4 é o produto;

5. Extraia os inteiros e encontrará 13 3/4.

Portanto, produto = 13 3/4.


CAPÍTULO 15

DIVISÃO DE FRAÇÕES

PRELIMINARES

1. Para efetuar a divisão de frações, invertemos os termos da fração divisor e praticamos uma multiplicação, em que a fração dividendo funciona como multiplicando e a fração divisor funciona como multiplicador.

2. Escrevemos as frações dividendo e divisor no lado esquerdo do sorobã, tendo já os termos da fração divisor invertidos.

3. Multiplicamos os denominadores na 1ª classe e os numeradores na 2ª classe.

Terminada a operação, o produto encontrado, escrito no lado direito do sorobã, será o quociente procurado.

4. Para dividir uma fração por um número inteiro no sorobã, proceda assim:

4.1 Escreva a fração em relação ao ponto 6 e o inteiro na 5ª classe;

4.2 Multiplique o denominador pelo inteiro e encontrará o produto na 1ª classe, para denominador do quociente;

4.3 Copie na 2ª classe o numerador do dividendo, para numerador do quociente.

5. Para dividir um número inteiro por uma fração, proceda assim:

5.1 Escreva o inteiro na 7ª classe e a fração, com seus termos invertidos, em relação ao ponto 5;

5.2 Copie na 1ª classe o denominador da fração divisor;

5.3 Multiplique o inteiro pelo numerador na 2ª classe e encontrará o numerador do quociente.

6. Se houver número misto entre os termos da divisão, transforme-o em fração imprópria antes de efetuar a divisão.

7. Para maior segurança na aprendizagem das técnicas de cálculo da divisão de frações e desenvolvimento de sua agilidade no sorobã, repita a execução dos exemplos aqui apresentados, elabore você próprio e execute outros exercícios deste cálculo.

PRÁTICA DO CÁLCULO

1º Exemplo. Calcular: 3/8 / 7/9=27/56.

1. Escreva o dividendo 3/8 em relação ao ponto 6;

2. Inverta os termos da fração divisor e encontrará 9/7; escreva 9/7 em relação ao ponto 4;

3. Multiplique os denominadores 8 e 7 e encontrará 56 na 1ª classe;

4. Multiplique os numeradores 3 e 9 e encontrará 27 na 2ª classe;

27/56 é o quociente procurado.

Portanto, fração quociente = 27/56.

2º Exemplo. Calcular: 2 / 3/4/5=5/6.

1. Escreva o dividendo 2/3 em relação ao ponto 6;

2. Inverta os termos da fração divisor e encontrará 5/4; escreva 5/4 em relação ao ponto 4;

3. Multiplique os denominadores 3 e 4 e encontrará 12 na 1ª classe;

4. Multiplique os numeradores 2 e 5 e encontrará 10 na 2ª classe;

10/12 é o quociente procurado;

5. Simplifique 10/12 e encontrará 5/6.

Portanto, quociente = 5/6.

3º Exemplo. Calcular: 1 2/3 / 4/5=2 1/12.

1. Transforme o dividendo em fração imprópria e encontrará 5/3;

2. Escreva o dividendo 5/3 em relação ao ponto 6;

3. Inverta os termos da fração divisor e encontrará 5/4; escreva 5/4 em relação ao ponto 4;

4. Multiplique os denominadores 3 e 4 e encontrará 12 na 1ª classe;

5. Multiplique os numeradores 5 e 5 e encontrará 25 na 2ª classe;

25/12 é o quociente procurado;

6. Extraia os inteiros de 25/12 e encontrará 2 1/12.

Portanto, quociente = 2 1/12.

4º Exemplo. Calcular: 2/5:4=1/10.

1. Escreva o dividendo 2/5 em relação ao ponto 6 e o divisor 4 na 5ª classe;

2. Multiplique na 1ª classe o denominador 5 pelo inteiro 4 e encontrará 20;

3. Escreva na 2ª classe o numerador do dividendo, isto é, 2, para numerador do quociente; 2/20 é o quociente;

4. Simplifique 2/20 e encontrará 1/10.

Portanto, quociente = 1/10.

5º Exemplo. Calcular: 4 / 5/7=5 3/5.

1. Escreva o inteiro 4 na 7ª classe e a fração 5/7, com seus termos invertidos, em relação ao ponto 5;

2. Escreva na 1ª classe o denominador 5;

3. Multiplique na 2ª classe, o inteiro 4 pelo numerador 7 e encontrará 28 para numerador do quociente; 28/5 é o quociente;

4. Extraia os inteiros e encontrará 5 3/5.

Portanto, quociente = 5 3/5.


CAPÍTULO 16

POTENCIAÇÃO

PRELIMINARES

1. Potência é o produto de fatores iguais.

2. As potências são classificadas de acordo com o número de fatores que lhes derem origem.

2.1 Quando a potência se origina de 2 fatores, ela se chama 2ª potência ou quadrado.

2.2 Quando se origina de 3 fatores, a potência é chamada 3ª potência ou cubo.

2.3 Quando se origina de 4 fatores, é chamada 4ª potência.

2.4 Quando se origina de 5 fatores, é chamada 5ª potência. E assim por diante.

3. Podemos representar as potências através de dois números: a base e o expoente: 2\4 (2 elevado a 4 ou 2 à 4ª potência); 2 é a base e 4 é o expoente.

4. A base é o número que deve funcionar como fator.

5. O expoente é o número que indica quantas vezes a base deve funcionar como fator.

6. Quando a base é 0, o valor da potência é 0, qualquer que seja o expoente: 0\0=0; 0\1=0; 0\2=0; 0\5=0, etc.

7. Quando o expoente é 0, o valor da potência é 1, qualquer que seja a base diferente de 0: 1\0=1; 2\0=1; 5\0=1, etc.

8. Quando a base é 1, o valor da potência é 1, qualquer que seja o expoente: 1\0=1; 1\1=1; 1\2=1; 1\5=1, etc.

9. Quando o expoente é 1, o valor da potência é igual à base: 0\1=0; 1\1=1; 2\1=2; 5\1=5, etc.

10. Para representar uma potência no sorobã, podemos escrevê-la, de sorte que um dos pontos da régua separe a base do expoente. 2\4 no lado esquerdo, = 2 na unidade da 7ª e 4 na unidade da 6ªclasse; 3\5 no lado direito, = 3 na unidade da 2ª e 5 na unidade da 1ª classe.

11. Para calcular potência no sorobã, consideramos os fatores a serem trabalhados como sendo um deles o multiplicador e os demais, multiplicandos.

Consulte multiplicação de vários fatores, capítulo 6, preliminares nº 8 e sub-itens.

12. Escrevemos os fatores multiplicandos no lado esquerdo e o fator multiplicador no lado direito do sorobã, com tantas ordens vagas quantos forem os algarismos dos multiplicandos, mais tantas quantos forem os multiplicandos.

13. No caso de cálculos mais extensos, você poderá utilizar 2 sorobãs. Num deles, escreverá os fatores multiplicandos e no outro escreverá o multiplicador, com as devidas ordens vagas, para a realização dos cálculos.

14. Para maior segurança na aprendizagem das técnicas de cálculo da potenciação e desenvolvimento de sua agilidade no sorobã, repita a execução dos exemplos aqui apresentados, elabore você próprio e execute outros exercícios deste cálculo.

PRÁTICA DO CÁLCULO

1º Exemplo. Calcular a 4ª potência de 2. 2\4=16.

1. Escreva os multiplicandos 2, 2 e 2, respectivamente na 7ª, 6ª e 5ª classes;

2. Escreva o multiplicador 2 na unidade da 3ª classe, isto é, com 6 ordens vagas, porque são 3 os algarismos dos multiplicandos e são 3 os multiplicandos (3+3=6 ordens vagas);

3. Com a mão esquerda na 7ª classe e a direita na 3ª, realize a 1ª multiplicação: 2*2=4; apague o 2 da 3ª classe e escreva 4 na dezena da 2ª classe;

4. Passe a mão esquerda para o 2 da 6ª classe e a mão direita para o 4 e calcule: 4*2=8; apague o 4 da 2ª classe e escreva 8 na centena da 1ª;

5. Passe a mão esquerda para o 2 da 5ª classe, a direita para o 8 e calcule: 8*2=16; apague o 8 e escreva 16 na dezena e unidade da 1ª classe.

Portanto, 4ª potência de 2 = 16.

2º Exemplo. Calcular o quadrado de 12. 12\2=144.

1. Escreva o multiplicando 12 na 7ª classe;

2. Escreva o multiplicador 12 na 2ª classe, isto é, com 3 ordens vagas, porque são 2 os algarismos do multiplicando e é 1 o multiplicando (2+1=3 ordens vagas);

3. Realize a multiplicação e encontrará o produto 144, escrito na 1ª classe.

Portanto, quadrado (ou 2ª potência) de 12 = 144.

3º Exemplo. Calcular o cubo de 4. 4\3=64.

1. Escreva os multiplicandos 4 e 4 na 7ª e na 6ª classes;

2. Escreva o multiplicador 4 na dezena da 2ª classe, isto é, com 4 ordens vagas, porque são 2 os algarismos dos multiplicandos e são 2 os multiplicandos (2+2=4 ordens vagas);

3. Realize a 1ª multiplicação e encontrará o produto 16, escrito na unidade da 2ª e centena da 1ª classes;

4. Realize a 2ª multiplicação e encontrará o produto 64, escrito na dezena e unidade da 1ª classe.

Portanto, cubo (ou 3ª potência) de 4 = 64.

4º Exemplo. Calcular o cubo de 14. 14\3=2.744.

1. Escreva os multiplicandos 14 e 14 na 7ª e 6ª classes;

2. Escreva o multiplicador 14 na 3ª classe, isto é, com 6 ordens vagas, porque são 4 os algarismos dos multiplicandos e são 2 os multiplicandos (4+2=6 ordens vagas);

3. Com a mão esquerda na 7ª e a direita na 3ª classe, realize a 1ª multiplicação e encontrará o produto 196, escrito na 2ª classe;

4. Passe a mão esquerda para a 6ª classe, realize a 2ª multiplicação e encontrará o produto 2.744, ocupando a unidade da 2ª e toda a 1ª classe.

Portanto, cubo (ou 3ª potência) de 14 = 2.744.


CAPÍTULO 17

RADICIAÇÃO - 1ª PARTE

NOÇÕES BÁSICAS

Antes de entrarmos neste cálculo, é bom rememorizar alguns pontos:

1. Radiciação é o cálculo que nos dá a raiz de um número, isto é a base da maior potência do grau correspondente que esteja contida nesse número ou seja igual a ele.

A radiciação, pois, é uma forma de operação inversa à potenciação.

2. Raiz quadrada é o número que produziu o quadrado: 4*4=16; 4 é a raiz quadrada de 16.

3. Raiz cúbica é o número que produziu o cubo ou 3ª potência:

4*4*4=64; 4 é a raiz cúbica de 64.

4. No cálculo da raiz , nos deparamos com os seguintes elementos:

4.1 Radicando é o número do qual pretendemos calcular a raiz: \\16;

16 é o radicando.

4.2 Índice da raiz é o número que indica o grau da raiz: \\ é o índice de raiz quadrada; \3\ é o índice de raiz cúbica; \4\ é o índice de raiz quarta, etc.

4.3 Raiz é o fator que produziu o radicando ou a maior potência daquele grau nele contida.

4.4 Resto ou excesso é o que excede à potência contida no radicando, isto é, a diferença que vai dessa potência para o próprio radicando.

Isto acontece, quando o radicando não é potência da raiz.

Quando o radicando é potência da raiz, o resto ou excesso é = 0.

O resto, portanto, é a diferença que vai do maior quadrado ou cubo, etc., perfeito contido no radicando, para o próprio radicando, em se tratando de raiz aproximada a menos de uma unidade por falta.

Quando a raiz é aproximada por excesso, o resto é a diferença que vai do radicando para o menor quadrado ou cubo, etc., perfeito acima desse radicando.

5. Vale observar que usualmente, calculamos a raiz aproximada a menos de uma unidade por falta.

6. As técnicas apresentadas nos dois próximos capítulos, nos permitem o cálculo da raiz, sem preocupações de que o radicando seja ou não potência da raiz.

7. Para calcularmos a raiz, escrevemos o radicando no lado direito do sorobã; os algarismos da raiz serão escritos no lado esquerdo, de sorte que sua unidade coincida com a unidade de classe do sorobã.

9. Durante a operação, o radicando desaparece para dar lugar ao resto. Por isso, para efeito de prova, é necessário ter registrado o radicando fora do sorobã em que se estiver operando.


CAPÍTULO 18

RADICIAÇÃO - 2ª PARTE

CÁLCULO DA RAIZ QUADRADA - INTEIROS E DECIMAIS -

PRELIMINARES

1. Para calcularmos a raiz quadrada, dividimos o radicando em classes de 2 algarismos, da direita para a esquerda, podendo a última classe ter 2 ou 1 algarismo.Quando o radicando for constituído por uma só classe, esta poderá ter 2 ou 1 algarismo.

2. A raiz quadrada terá tantos algarismos quantas forem as classes do radicando.

3. Quando, no cálculo da raiz quadrada, o radicando for um número decimal, é necessário que o número de ordens decimais seja par, porque: a cada duas ordens decimais do radicando, corresponde uma ordem decimal da raiz.

4. Quando o número de ordens decimais do radicando for ímpar, acrescentamos um 0 à direita, para viabilizar a operação. Lembremo-nos de que, o acréscimo de zeros à direita das ordens decimais de um número, não altera o valor desse número.

5. Para calcular a raiz quadrada de números decimais , adote o seguinte procedimento:

a) O radicando número decimal, deve ser escrito no sorobã como se fosse inteiro e assim ser trabalhado durante a operação.

b) O fato de sabermos antecipadamente o número de algarismos da raiz, permite que possamos eleger por antecipação, um ponto da régua para sinal decimal, colocando à direita dele as ordens decimais da raiz.

6. Terminado o cálculo da raiz quadrada no sorobã, as ordens decimais da raiz estarão imediatamente à direita do ponto 6, desde que a parte inteira tenha até três algarismos.

7. O resto terá o mesmo número de ordens decimais do radicando, ainda que contenha zeros.

8. Para facilitar os trabalhos de cálculo da raiz quadrada, é bom ter memorizados, pelo menos, os quadrados de 1 a 9, que são os seguintes:

de 1 = 1 de 2 = 4 de 3 = 9 de 4 = 16 de 5 = 25 de 6 = 36 de 7 = 49 de 8 = 64 de 9 = 81

9. Se você sentir necessidade de rememorizar noções básicas deste assunto, consulte o Capítulo 17 - Radiciação - 1ª Parte.

10. Para maior segurança na aprendizagem das técnicas de cálculo da raiz quadrada e desenvolvimento de sua agilidade no sorobã, repita a execução dos exemplos aqui apresentados, elabore você próprio e execute outros exercícios deste cálculo.

Obs.: Nesta edição, empregamos \\ (dupla barra invertida) como sinal radical.


PRÁTICA DO CÁLCULO

1º Exemplo. Calcular: \\96=9 e resto 15.

1. Escreva o radicando 96 na 1ª classe do sorobã; 96 só tem uma classe; por isso, a raiz quadrada terá um algarismo e ocupará a unidade da 7ª classe;

2. Calcule: o maior quadrado contido em 96 é 81, cuja raiz é 9; escreva 81 no meio do sorobã e 9 na unidade da 7ª classe;

3. Subtraia o quadrado 81 do radicando 96 e encontrará o resto 15. Portanto, raiz quadrada de 96 = 9 e resto 15.

2º Exemplo. Calcular:\\321=17 e resto 32.

1. Escreva 321 na 1ª classe do sorobã; 321 tem duas classes: 21 e 3; por isso, a raiz quadrada terá 2 algarismos e ocupará dezena e unidade da 7ª classe;

2. Calcule: o maior quadrado contido em 3 é 1, cuja raiz é 1; escreva o quadrado 1 no meio do sorobã e a raiz 1 na dezena da 7ª classe;

3. Subtraia o quadrado 1 do radicando 3 e encontrará o resto 2; escreva 2 no lugar do 3 (centena da 1ª classe);

4. Apague o quadrado 1 do meio do sorobã e escreva o dobro da raiz, isto é, 2, na unidade da 6ª classe;

5. Ao resto 2 (centena da 1ª classe) acrescente a classe seguinte do radicando, formando o número 221; despreze temporariamente o 1 e trabalhe o 22 (centena e dezena da 1ª classe); calcule: 22 dividido por 2 (6ª classe), dá 11 mas, 11 é muito, 10 é muito, 9 é muito e 8 é muito; escreva 7 na unidade da 7ª classe (2º algarismo da raiz) e escreva 7 também à direita do dobro do 1º algarismo da raiz, isto é, na centena da 5ª classe, formando o número 27, com duas ordens vagas em relação ao ponto 4;

6. Multiplique o 7 (2º algarismo da raiz) pelo 27 e encontrará o produto 189 na 5ª classe;

7. Subtraia o produto 189 do radicando 221 e encontrará o resto 32.

Portanto, raiz quadrada de 321 = 17 e resto 32.

3º Exemplo. Calcular: \\876=29 e resto 35.

1. Escreva 876 na 1ª classe do sorobã;

876 tem duas classes: 76 e 8; por isso, a raiz quadrada terá dois algarismos e ocupará dezena e unidade da 7ª classe;

2. Calcule: o maior quadrado contido em 8 é 4, cuja raiz é 2; escreva 4 no meio do sorobã e 2 na dezena da 7ª classe;

3. Subtraia o quadrado 4 do radicando 8 e encontrará o resto 4 no lugar do 8 (centena da 1ª classe);

4. Apague o quadrado 4 do meio do sorobã e escreva o dobro da raiz, isto é, 4 na unidade da 6ª classe;

5. Ao resto 4, acrescente a classe seguinte do radicando (76); despreze temporariamente o 6 e calcule: 47 dividido por 4 dá 11, mas é muito; 10 também é muito; escreva 9 na unidade da 7ª classe, para 2º algarismo da raiz, e escreva 9 também à direita do 4 (centena da 5ª classe), formando o número 49, com duas ordens vagas em relação ao ponto 4;

6. Multiplique o 9 (2º algarismo da raiz) pelo 49 e encontrará 441 na 5ª classe;

7. Subtraia o 441 do radicando 476 e encontrará o resto 35.

Portanto, raiz quadrada de 876 = 29 e resto 35.

4º Exemplo. Calcular: \\625=25 e resto 0.

1. Escreva 625 na 1ª classe do sorobã;

Este radicando tem duas classes: 25 e 6; por isso, a raiz quadrada terá 2 algarismos e ocupará dezena e unidade da 7ª classe;

2. Calcule: o maior quadrado contido em 6 é 4, cuja raiz é 2;

escreva 4 no meio do sorobã e 2 na dezena da 7ª classe;

3. Subtraia o quadrado 4 do radicando 6 e encontrará o resto 2;

escreva 2 no lugar do 6;

4. Apague o quadrado 4 do meio do sorobã e escreva o dobro da raiz, isto é, 4, na unidade da 6ª classe;

5. Ao resto 2, acrescente a classe seguinte do radicando (25), formando o número 225; despreze temporariamente o 5 e trabalhe o 22;

calcule: 22 dividido por 4, dá 5; escreva 5 na unidade da 7ª classe, para 2º algarismo da raiz e escreva 5 também à direita do dobro da raiz, isto é na centena da 5ª classe, formando o número 45, com duas ordens vagas em relação ao ponto 4 da régua;

6. Multiplique 5 (2º algarismo da raiz) pelo 45 e encontrará 225 na 5ª classe;

7. Subtraia o produto 225 do radicando 225 e encontrará o resto 0.

Portanto, raiz quadrada de 625 = 25 e resto 0.

O resto 0 indica que o radicando é quadrado perfeito.

5º Exemplo. Calcular: \\2.845=53 e resto 36.

1. Escreva o radicando 2.845 no lado direito do sorobã;

2.845 tem duas classe: 45 e 28; por isso, a raiz quadrada terá dois algarismos e ocupará dezena e unidade da 7ª classe;

2. Calcule: o maior quadrado contido em 28 é 25 cuja raiz é 5; escreva 25 no meio do sorobã e 5 na dezena da 7ª classe;

3. Subtraia 25 de 28 e encontrará o resto 3 (centena da 1ª classe);

4. Apague o quadrado 25 do meio do sorobã e escreva o dobro da raiz, isto é, 10 na 6ª classe;

5. Acrescente a classe seguinte do radicando ao resto 3, formando o número 345; despreze temporariamente o 5 e considere 34 para o cálculo seguinte: 34 dividido por 10, dá 3; escreva 3 na unidade da 7ª classe, para 2º algarismo da raiz e escreva 3 também à direita do 10 (centena da 5ª classe), formando o número 103 com duas ordens vagas em relação ao ponto 4;

6. Multiplique o 3 (2º algarismo da raiz) pelo 103 e encontrará o produto 309 na 5ª classe;

7. Subtraia o produto 309 do radicando 345, e encontrará o resto 36.

Portanto, raiz quadrada de 2.845=53 e resto 36.

6º Exemplo. Calcular: \\234.567=484 e resto 311.

1. Escreva 234.567 no lado direito do sorobã;

Este radicando tem 3 classes: 67, 45 e 23;por isso, a raiz quadrada terá três algarismos e ocupará toda a 7ª classe;

2. Calcule: o maior quadrado contido em 23 é 16, cuja raiz é 4;

escreva 16 no meio do sorobã e 4 na centena da 7ª classe;

3. Subtraia o quadrado 16 do radicando 23 e encontrará o resto 7 no lugar do 23;

4. Apague o quadrado 16 do meio do sorobã e escreva o dobro da raiz, isto é, 8 na 6ª classe;

5. Ao resto 7, acrescente a classe seguinte do radicando (45), formando o número 745; despreze temporariamente o 5 e trabalhe o 74; calcule: 74 dividido por 8, dá 8, porque 9 é muito; escreva 8 na dezena da 7ª classe, para 2º algarismo da raiz, e 8 também à direita do dobro da raiz (centena da 5ª classe), formando o número 88, com duas ordens vagas em relação ao ponto 4 da régua;

6. Multiplique 8 (2º algarismo da raiz) pelo 88 e encontrará 704 na 5ª classe;

7. Subtraia o produto 704 do radicando 745 e encontrará o resto 41;

8. Apague o 704 da 5ª classe e escreva o dobro da raiz, isto é, 96 na 6ª classe;

9. Ao resto 41, acrescente a classe seguinte do radicando (67), formando o número 4.167; despreze temporariamente o 7 e calcule: 416 dividido por 96, dá 4; escreva 4 na unidade da 7ª classe (3º algarismo da raiz) e escreva 4 também à direita do 96, formando o número 964, com duas ordens vagas na 5¦ classe;

10. Multiplique o 4 (último algarismo da raiz) pelo 964 e encontrará o produto 3.856(6ª e 5ª classes);

11. Subtraia o produto 3.856 do radicando 4.167 e encontrará o resto 311.

Portanto, raiz quadrada de 234.567=484 e resto 311.

7º Exemplo. Calcular: \\6,25=2,5 e resto 0.

1. Escreva 6,25 na 1ª classe do sorobã, como se fosse número inteiro;

6,25 tem duas classes: ,25 e 6; por isso, a raiz quadrada terá dois algarismos;

O radicando tem duas ordens decimais; por isso, a raiz quadrada terá uma ordem decimal; o ponto 6 da régua será o sinal decimal da raiz;

2. Calcule: o maior quadrado contido em 6 é 4, cuja raiz é 2;

escreva 4 no meio do sorobã e 2 na unidade da 7ª classe;

3. Subtraia o quadrado 4 do radicando 6 e encontrará o resto 2 no lugar do 6;

4. Apague o quadrado 4 do meio do sorobã e escreva o dobro da raiz, isto é, 4, na unidade da 5ª classe;

5. Ao resto 2, acrescente a classe seguinte do radicando (25), formando o número 225; despreze temporariamente o 5 e calcule: 22 dividido por 4, dá 5; escreva 5 na centena da 6ª classe, para 2º algarismo da raiz, e escreva 5 também à direita do 4 (centena da 4¦ classe), formando o número 45, com duas ordens vagas em relação ao ponto 3;

6. Multiplique 5 (2º algarismo da raiz) pelo 45 e encontrará 225 na 4ª classe;

7. Subtraia o produto 225 do radicando 225 e encontrará o resto 0.

Portanto, raiz quadrada de 6,25=2,5 e resto 0.

8º Exemplo. Calcular: \\45,25=6,7 e resto 0,36.

1. Escreva 45,25 no lado direito do sorobã, como se fosse número inteiro;

45,25 tem duas classes: ,25 e 45; por isso, a raiz quadrada terá dois algarismos;

45,25 tem duas ordens decimais; por isso, a raiz quadrada terá uma ordem decimal; o ponto 6 da régua será o sinal decimal da raiz;

2. Calcule: o maior quadrado contido em 45 é 36, cuja raiz é 6;

escreva 36 no meio do sorobã e 6 na unidade da 7ª classe;

3. Subtraia o quadrado 36 do radicando 45 e encontrará o resto 9 (centena da 1ª classe);

4. Apague o quadrado 36 do meio do sorobã e escreva o dobro da raiz, isto é, 12, na 5ª classe;

5. Ao resto 9, Acrescente a classe seguinte do radicando (25), formando o número 925; despreze temporariamente o 5 e calcule: 92 dividido por 12, dá 7; escreva 7 na centena da 6ª classe, para 2º algarismo da raiz, e escreva 7 também na centena da 4ª classe, formando o número 127, com duas ordens vagas na 4¦ classe;

6. Multiplique o 7 (2º algarismo da raiz) pelo 127 e encontrará 889 na 4ª classe;

7. Subtraia o produto 889 do radicando 925 e encontrará o resto 36.

Portanto, raiz quadrada de 45,25=6,7 e resto 0,36.

PROVA REAL DA RAIZ QUADRADA

Eleve a raiz ao quadrado e adicione ao resto.

Se o resultado for igual ao radicando, a radiciação estará certa.


CAPÍTULO 19

RADICIAÇÃO - 3ª PARTE

CÁLCULO DA RAIZ CÚBICA - INTEIROS E DECIMAIS -

Preliminares

1. Para o cálculo da raiz cúbica, o radicando será dividido em classes de 3 algarismos, da direita para a esquerda, podendo a última classe ter 3, 2 ou 1 algarismo.

Quando o radicando for constituído por uma só classe, esta poderá ter 3, 2 ou apenas 1 algarismo.

2. A raiz cúbica terá tantos algarismos quantas forem as classes do radicando.

3. Ao escrever o radicando, fazemo-lo de sorte que sua unidade coincida com a unidade da 1ª classe do sorobã; assim, os pontos da régua estarão dividindo o radicando em classes de 3 algarismos.

Seja o radicando: \3\8.765.432; escrito no sorobã, terá sua 1ª classe, 432, ocupando a 1ª classe do sorobã; sua 2ª classe, 765, ocupando a 2ª classe do sorobã; sua 3ª classe, 8, ocupando a unidade da 3ª classe do sorobã.

4. No cálculo da raiz cúbica, a cada três ordens decimais do radicando, corresponde uma ordem decimal da raiz. Por isso, o número de ordens decimais do radicando terá de ser divisível por 3. Quando isto não acontecer, é indispensável completar o número de ordens decimais do radicando, com zeros à direita.

Lembremo-nos de que, o acréscimo de zeros à direita das ordens decimais de um número, não altera o valor desse número.

5. Terminado o cálculo da raiz cúbica no sorobã, as ordens decimais da raiz estarão imediatamente à direita do ponto 6 da régua, desde que a parte inteira tenha até 3 algarismos.

6. O resto terá o mesmo número de ordens decimais do radicando, ainda que contenha zeros.

7. Para facilitar os trabalhos de cálculo da raiz cúbica, é bom memorizar, pelo menos, os cubos de 1 a 9, que são os seguintes:

de 1 = 1 de 2 = 8 de 3 = 27 de 4 = 64 de 5 = 125 de 6 = 216 de 7 = 343 de 8 = 512 de 9 = 729

8. Se você sentir necessidade de rememorizar noções básicas deste assunto, consulte o Capítulo 17 - Radiciação - 1ª Parte.

9. Para maior segurança na aprendizagem das técnicas de cálculo da raiz cúbica e treinamento de sua agilidade no sorobã, repita a execução dos exemplos aqui apresentados, elabore e execute outros exercícios do mesmo cálculo.

Obs.: Nesta edição, empregamos \\ (dupla barra invertida) como sinal radical.

PRÁTICA DO CÁLCULO

1º Exemplo. Calcular: \3\35=3 e resto 8.

1. Escreva o radicando 35 na 1ª classe;

Este radicando tem uma classe; por isso, a raiz cúbica terá uma ordem e ocupará a unidade da 7ª classe;

2. O maior cubo contido em 35 é 27, cuja raiz é 3; escreva 27 no meio do sorobã e 3 na unidade da 7ª classe;

3. Subtraia o cubo 27 do radicando 35 e encontrará o resto 8.

Portanto, raiz cúbica de 35 = 3 e resto 8.

2º Exemplo. Calcular: \3\234=6 e resto 18.

1. Escreva o radicando 234 na 1ª classe;

Este radicando tem uma classe; por isso, a raiz cúbica terá uma ordem e ocupará a unidade da 7ª classe;

2. O maior cubo contido em 234 é 216, cuja raiz é 6; escreva 216 no meio do sorobã e 6 na unidade da 7ª classe;

3. Subtraia o cubo 216 do radicando 234 e encontrará o resto 18.

Portanto, raiz cúbica de 234 = 6 e resto 18.

3º Exemplo. Calcular: \3\876=9 e resto 147.

1. Escreva o radicando 876 na 1ª classe;

Este radicando tem uma classe; por isso, a raiz cúbica terá uma ordem e ocupará a unidade da 7ª classe;

2. O maior cubo contido em 876 é 729, cuja raiz é 9; escreva 729 no meio do sorobã e 9 na unidade da 7ª classe;

3. Subtraia o cubo 729 do radicando 876 e encontrará o resto 147.

Portanto, raiz cúbica de 876=9 e resto 147.

4º Exemplo. Calcular: \3\1.678=11 e resto 347.

1. Escreva o radicando 1.678 no lado direito do sorobã;

Este radicando tem duas classes: 678 e 1; por isso, a raiz cúbica terá duas ordens e ocupará dezena e unidade da 7ª classe;

2. Comece o cálculo pela última classe do radicando, isto é, 1; o maior cubo contido em 1 é 1, cuja raiz é 1; escreva o cubo 1 no meio do sorobã e a raiz 1 na dezena da 7ª classe;

3. Subtraia o cubo 1 do radicando 1 e encontrará o resto 0 (unidade da 2ª classe);

4. Apague o cubo 1 do meio do sorobã;

5. Calcule o triplo do quadrado do primeiro algarismo da raiz e encontrará 3; escreva 3 com 4 ordens vagas em relação ao ponto 4, isto é, na dezena da 6ª classe;

6. Considere a classe seguinte do radicando, isto é, 678; despreze temporariamente os dois algarismos da direita (78) e calcule: 6 (centena da 1ª classe) dividido por 3 (dezena da 6ª), dá 2, mas 2 é muito; escreva 1 na unidade da 7ª classe, para 2º algarismo da raiz;

7. Calcule o triplo do primeiro algarismo da raiz multiplicado pelo segundo e encontrará 3;

8. Adicione o produto 3 à 6ª classe: 3+30=33, ficando 3 ordens vagas em relação ao ponto 4;

9. Calcule o quadrado do segundo algarismo da raiz e encontrará 1; escreva 1 na centena da 5ª classe, formando o número 331, com duas ordens vagas em relação ao ponto 4;

10. Multiplique o 2º algarismo da raiz pelo 331 e encontrará 331 na 5ª classe;

11. Subtraia o produto 331 do radicando 678 e encontrará o resto 347.

Portanto, raiz cúbica de 1.678 = 11 e resto 347.

5º Exemplo. Calcular: \3\23.456=28 e resto 1.504.

1. Escreva o radicando 23.456 no lado direito do sorobã;

Este radicando tem duas classes: 456 e 23; por isso, a raiz cúbica terá dois algarismos e ocupará dezena e unidade da 7ª classe;

2. Calcule: o maior cubo contido em 23 é 8, cuja raiz é 2; escreva 8 no meio do sorobã e 2 na dezena da 7ª classe;

3. Subtraia o cubo 8 do radicando 23 e encontrará o resto 15 no lugar de 23 (dezena e unidade da 2ª classe);

4. Apague o cubo 8 do meio do sorobã;

5. Calcule o triplo do quadrado do primeiro algarismo da raiz e encontrará 12; escreva 12 com 4 ordens vagas em relação ao ponto 4, isto é, 12 na centena e dezena da 6ª classe;

6. Considere a classe seguinte do radicando, 456, despreze temporariamente os dois algarismos da direita e trabalhe o 154 (dezena e unidade da 2ª e centena da 1ª classe);

7. Calcule: 154 dividido por 12, dá 9, mas 9 é muito; escreva 8 na unidade da 7ª classe, para 2º algarismo da raiz;

8. Calcule o triplo do primeiro algarismo da raiz multiplicado pelo segundo e encontrará 48; adicione 48 à 6ª classe: 48+120=168, ocupando a 6ª classe e ficando 3 ordens vagas em relação ao ponto 4;

9. Calcule o quadrado do segundo algarismo da raiz e encontrará 64; adicione 64, de modo que sua unidade coincida com a centena da 5ª classe: 64+1.680=1.744, ficando duas ordens vagas em relação ao ponto 4;

10. Multiplique o segundo algarismo da raiz, 8, pelo 1.744 e encontrará 13.952 na 6¦ e 5¦ classes;

11. Subtraia o produto 13.952 do radicando 15.456 e encontrará o resto 1.504.

Portanto, raiz cúbica de 23.456 = 28 e resto 1.504.

6º Exemplo. Calcular: \3\1.860.867=123 e resto 0.

1. Escreva 1.860.867 no lado direito do sorobã;

Este radicando tem 3 classes: 867, 860 e 1; por isso, a raiz cúbica terá 3 ordens e ocupará toda a 7ª classe;

2. O maior cubo contido em 1 é 1, cuja raiz é 1; escreva o cubo 1 no meio do sorobã e a raiz 1 na centena da 7ª classe;

3. Subtraia o cubo 1 do radicando 1 e encontrará o resto 0 (unidade da 3ª classe);

4. Apague o cubo 1 do meio do sorobã;

5. Calcule o triplo do quadrado do primeiro algarismo da raiz e encontrará 3; escreva 3 com 4 ordens vagas em relação ao ponto 4, isto é, na dezena da 6ª classe;

6. Considere a classe seguinte do radicando, o 860, despreze temporariamente os dois algarismos da direita e trabalhe apenas o 8 (centena da 2ª classe); calcule: 8 dividido por 3 (6ª classe), dá 2;

escreva 2 na dezena da 7ª classe, para segundo algarismo da raiz;

7. Calcule o triplo do primeiro algarismo da raiz multiplicado pelo segundo e encontrará 6; adicione 6 à unidade da 6ª classe, formando o número 36, com 3 ordens vagas em relação ao ponto 4;

8. Calcule o quadrado do segundo algarismo da raiz e encontrará 4;

adicione 4 à centena da 5ª classe, formando o número 364, com duas ordens vagas em relação ao ponto 4;

9. Multiplique o segundo algarismo da raiz pelo 364 e encontrará 728 na 5ª classe;

10. Subtraia o produto 728 do radicando 860 e encontrará o resto 132 na 2ª classe;

11. Apague o produto 728 do meio do sorobã;

12. Calcule no meio do sorobã o triplo do quadrado de 12 (número formado pelos dois primeiros algarismos da raiz) e encontrará 432; escreva 432 com 4 ordens vagas em relação ao ponto 3;

13. Considere a última classe do radicando, o 867, despreze temporariamente os dois algarismos da direita e trabalhe o 1.328: divida 1.328 por 432 e encontrará 3; escreva 3 na unidade da 7ª classe (3º algarismo da raiz);

14. Calcule o triplo do número 12 (primeiros algarismos da raiz) multiplicado por 3 (último algarismo da raiz) e encontrará 108; adicione 108 à 5ª classe e chegará ao número 4.428, com as 3 ordens vagas da 4ª classe;

15. Calcule o quadrado do último algarismo da raiz e encontrará 9; adicione 9 à centena da 4ª classe, chegando ao número 44.289, com duas ordens vagas na 4ª classe;

16. Multiplique o 3 (último algarismo da raiz) pelo 44.289 e encontrará 132.867, ocupando a 5ª e a 4ª classes;

17. Subtraia o produto 132.867 do radicando 132.867 e encontrará o resto 0. Portanto, raiz cúbica de 1.860.867=123 e resto 0.

7º Exemplo. Calcular: \3\46,25=3,5 e resto 3,375.

1. Considerando que o radicando tem duas ordens decimais (,25), acrescente 0, escrevendo 46,250 no lado direito do sorobã;

Este radicando tem duas classes: ,250 e 46; por isso, a raiz cúbica terá dois algarismos; e porque o mesmo tem três ordens decimais, a raiz cúbica terá uma ordem decimal; o ponto 6 da régua será o sinal decimal da raiz;

2. O maior cubo contido em 46 é 27, cuja raiz é 3; escreva 27 no meio do sorobã e 3 na unidade da 7ª classe;

3. Subtraia o cubo 27 do radicando 46 e encontrará o resto 19;

4. Apague o cubo 27 do meio do sorobã;

5. Calcule o triplo do quadrado do 1º algarismo da raiz e encontrará 27; escreva 27 com 4 ordens vagas em relação ao ponto 3, isto é, centena e dezena da 5ª classe;

6. Acrescente ao resto 19 a classe seguinte do radicando, o 250, despreze temporariamente os dois algarismos da direita e trabalhe o 192; calcule: 192 dividido por 27 dá 7, mas é muito; 6 também é muito; escreva 5 na centena da 6ª classe, para 2º algarismo da raiz;

7. Calcule o triplo do 1º algarismo da raiz vezes o 2º e encontrará 45; adicione 45 à 5ª classe e encontrará 315, com três ordens vagas na 4ª classe;

8. Calcule o quadrado do 2º algarismo da raiz e encontrará 25;

adicione 25, de modo que sua unidade coincida com a centena da 4ª classe e encontrará 3.175, com duas ordens vagas na 4ª classe;

9. Multiplique o 2º algarismo da raiz pelo 3.175 e encontrará 15.875 na 5ª e 4ª classes;

10. Subtraia o produto 15.875 do radicando 19.250 e encontrará o resto 3.375. O ponto 6 da régua representa o sinal decimal da raiz e o ponto 1, o sinal decimal do resto.

Portanto, raiz cúbica de 46,25 = 3,5 e resto 3,375.

PROVA REAL DA RAIZ CÚBICA

Eleve a raiz ao cubo e adicione ao resto.

Se o resultado for igual ao radicando, a radiciação estará certa.


CAPÍTULO 20

RAZÕES E PROPORÇÕES

PRELIMINARES

1. Razão é um quociente indicado: 2:6 (2 está para 6) = 2/6 (dois sextos); 6:2 (6 está para 2) = 6/2 (seis meios), etc.

2. Os termos de uma razão são chamados: antecedente, o 1º termo; conseqüente, o 2º termo.

Na razão 2:6, 2 é o antecedente e 6 o conseqüente.

3. Razões equivalentes são razões de igual valor, escritas com números diferentes.

4. Multiplicando-se ou dividindo-se ambos os termos de uma razão pelo mesmo número, o valor da razão não se altera. Por isso, no cálculo das proporções, podemos simplificar as razões de termos conhecidos, para trabalhar com números mais baixos.

5. Para simplificar uma razão, procedemos como em frações ordinárias, isto é, dividimos ambos os termos da razão por um mesmo número.

6. Para escrever uma razão no sorobã, fazemo-lo, de sorte que o antecedente ocupe uma classe e o conseqüente ocupe a classe imediatamente à direita: 2:8, no lado esquerdo do sorobã, se escreve: 2 na unidade da 7ª classe e 8 na unidade da 6ª.

7. Proporção é a relação estabelecida pela equivalência entre duas razões.

2:8 e 6:24 são razões equivalentes e, por isso, podem estabelecer a seguinte proporção: 2:8::6:24 (2 está para 8 assim como 6 está para 24) ou: 2/8=6/24 (dois oitavos igual a seis vinte e quatro avos).

8. Para verificarmos a equivalência das razões, e sabermos, portanto, se elas podem estabelecer proporção, basta dividir os antecedentes por seus respectivos conseqüentes ou vice-versa; se os quocientes encontrados forem iguais, as razões serão equivalentes.

9. Numa proporção, é importante distinguir os termos: extremos e meios.

Os extremos são o antecedente da 1ª razão e o conseqüente da 2ª.

Os meios são o conseqüente da 1ª e o antecedente da 2ª razão.

10. O produto dos extremos é igual ao produto dos meios.

11. Quando a proporção apresenta uma incógnita, podemos calcular o valor da incógnita, trabalhando os termos conhecidos.

12. Quando a incógnita for um extremo, multiplicamos os meios e dividimos o produto pelo extremo conhecido; o quociente será o valor da incógnita, isto é, o extremo desconhecido.

13. Quando a incógnita for um meio, multiplicamos os extremos e dividimos o produto pelo meio conhecido; o quociente será o valor da incógnita, isto é, o meio desconhecido.

14. Para escrever uma proporção no sorobã, coloque a 1ª razão na 7ª e 6ª classes e a 2ª razão na 5ª e 4ª classes; desse modo, o ponto 6 da régua representa o sinal de razão, o ponto 5 o sinal de proporção e o ponto 4 o sinal de razão.

15. No sorobã, a incógnita será representada por uma classe vaga. Assim, por exemplo, para escrever no sorobã 10:x::4:6, escrevemos 10 na 7ª classe, 4 na unidade da 5ª e 6 na unidade da 4ª, deixando vaga a 6ª classe, para representar o x.

16. Para maior segurança na aprendizagem das técnicas de cálculo das razões e proporções e desenvolvimento de sua agilidade no sorobã, repita a execução dos exemplos aqui apresentados, elabore você próprio e execute outros exercícios deste cálculo.

PRÁTICA DO CÁLCULO

1º Exemplo. Calcular: 7:9::35:x. x=...

1. Escreva 7 na 7ª classe, 9 na 6ª, 35 na 5ª, deixando a 4ª classe vaga, para representar o x;

2. Considerando que a incógnita x é um extremo, multiplique os meios 9 e 35 e encontrará o produto 315 na 1ª classe;

3. Divida o produto 315 pelo extremo conhecido 7 e encontrará o quociente 45, que será o valor da incógnita; escreva 45 na 4ª classe, para substituir o x.

Portanto, x=45.

2º Exemplo. Calcular: 2:6::10:x. x=...

1. Escreva 2 na 7ª classe, 6 na 6ª e 10 na 5ª, deixando vaga a 4ª classe, para representar o x;

2. Considerando que a incógnita x é um dos extremos, multiplique os meios 6 e 10 e encontrará o produto 60 na 1ª classe;

3. Divida o produto 60 pelo extremo conhecido 2 e encontrará o quociente 30, que é o extremo desconhecido, isto é o valor da incógnita; escreva 30 na 4ª classe, para substituir o x. Portanto, x=30.

3º Exemplo. Calcular: 8:72::x:18. x=...

1. Escreva 8 na 7ª classe, 72 na 6ª, deixe a 5ª classe vaga, para representar o x e escreva 18 na 4ª classe;

2. Para calcular com números mais baixos, vamos simplificar a 1ª razão, porque seus termos admitem divisor comum; o mdc de 8 e 72 é 8;

divida por 8 ambos os termos da razão, nos seus respectivos lugares:

8 dividido por 8 = 1; escreva 1 no lugar do 8 (unidade da 7ª classe);

72 dividido por 8 = 9; escreva 9 no lugar do 72 (6ª classe);

Agora temos no sorobã a proporção equivalente: 1:9::x:18;

3. Considerando que a incógnita x é um meio, multiplique os extremos 1 e 18 e encontrará o produto 18 na 1ª classe;

4. Divida o produto 18 pelo meio conhecido 9 e encontrará o quociente 2, que é o meio desconhecido ou seja, o valor da incógnita;

escreva 2 na 5ª classe, para substituir o x.

Portanto, x=2.

4º Exemplo. Calcular: 2,5:4::7:x. x=...

1. Escreva 2,5 em relação ao ponto 6, 4 na 5ª classe, 7 na 4ª classe, deixando a 3ª classe vaga, para representar o x;

2. Considerando que a incógnita é um extremo, multiplique os meios 4 e 7 e encontrará o produto 28 na 1ª classe;

3. Divida o produto 28 pelo extremo conhecido 2,5 e encontrará o extremo desconhecido 11,2, que é o valor da incógnita; escreva 11,2 em relação ao ponto 2 para substituir o x.

Portanto, x=11,2.

5º Exemplo. Calcular: 5:x::1/2:4. x=...

1. Escreva 5 na 7ª classe, 1/2 em relação ao ponto 4 (5ª e 4ª classes), 4 na 3ª classe, deixando a 6ª classe vaga, para representar o x;

2. Considerando que a incógnita é um meio, multiplique os extremos 5 e 4 e encontrará o produto 20 na 1ª classe;

3. Divida o produto 20 pelo meio conhecido 1/2 e encontrará 40, que é o valor da incógnita; escreva 40 na 6ª classe, para substituir o x.

Portanto, x=40.

PROVA REAL DO CÁLCULO DAS PROPORÇÕES

1. Multiplique os extremos.

2. Multiplique os meios.

Se ambos os produtos forem iguais, o cálculo da proporção estará certo.


CAPÍTULO 21

REGRA DE TRÊS

PRELIMINARES

1. A regra de três pode ser simples ou composta.

Simples, quando contém duas grandezas proporcionais.

Composta, quando contém mais de duas grandezas proporcionais.

2. As grandezas podem ser diretamente ou inversamente proporcionais.

Uma grandeza é diretamente proporcional a outra, quando aumentando uma, a outra também aumenta na mesma razão da primeira, e diminuindo uma, a outra também diminui na mesma razão da primeira.

Uma grandeza é inversamente proporcional a outra, quando aumentando uma, a outra diminui na mesma razão da primeira, e vice-versa.

3. A regra de três pode ser direta ou inversa.

Direta, quando suas grandezas são diretamente proporcionais.

Inversa, quando suas grandezas são inversamente proporcionais.

4. Solucionamos os problemas da regra de três, pelos cálculos das proporções: extraímos do enunciado do problema as razões, para com elas estabelecer a proporção a ser trabalhada.

5. Quando a regra de três for direta, efetuaremos os cálculos da proporção sem alterar a posição de seus termos.

6. Quando a regra de três for inversa, devemos inverter os termos de uma das razões, antes de realizarmos os cálculos da proporção.

7. Se a proporção resultar de uma regra de três composta, antes de efetuarmos os seus cálculos para a determinação do valor da incógnita, devemos transformar as razões de termos conhecidos em uma única razão, cujo antecedente é o produto de seus antecedentes e cujo conseqüente é o produto de seus conseqüentes.

Essa nova razão formará com a razão da incógnita, a proporção de duas razões, cujo valor da incógnita será a resposta do problema.

8. Para maior segurança na aprendizagem dos cálculos da Regra de Três, repita a execução dos exemplos aqui apresentados, elabore e execute outros exercícios deste cálculo.

PRÁTICA DO CÁLCULO

1º Exemplo. Um agricultor plantou 10 kg de feijão e colheu uma tonelada. Se plantar 28 kg, nas mesmas circunstâncias, quanto colherá?

1. Identifique as razões contidas neste problema e encontrará:

10kg:28kg e 1t:x;

2. Com estas razões, estabeleça a seguinte proporção: 10:28::1:x;

3. Neste problema, só há duas grandezas diretamente proporcionais: quilograma e tonelada; por isso, a regra de três é simples e direta e os termos das razões permanecem na mesma posição;

4. Escreva 10 na 7ª classe do sorobã, 28 na 6ª e 1 na 5ª, deixando a 4ª classe vaga, para representar o x;

5. Multiplique no lado direito do sorobã, os meios 28 e 1 e encontrará o produto 28;

6. Divida o produto 28 pelo extremo conhecido 10 e encontrará o extremo desconhecido 2,8; escreva 2,8 em relação ao ponto 3, para substituir o x.

Portanto, resposta do problema: x=2,8t (2,8 toneladas) ou 2t e 800kg (2 toneladas e 800 quilogramas).

2º Exemplo. Um comerciante vendeu 4 peças de fazenda por R$900,00.

Quantas peças do mesmo preço deverá vender, a fim de apurar R$4.500,00?

1. Identifique as razões contidas neste problema e encontrará:

4:x e 900:4.500;

2. Com estas razões, estabeleça a seguinte proporção:

4:x::900:4.500;

Neste problema, só existem duas grandezas diretamente proporcionais:

peças de fazenda e Reais; por isso, a regra de três é simples e direta;

por conseguinte, os termos das razões permanecem na mesma posição;

3. Escreva 4 na 7ª classe do sorobã 900 na 5ª e 4.500 na 4ª e 3ª classes, deixando a 6ª classe vaga, para representar o x;

4. Multiplique no lado direito do sorobã, os extremos 4 e 4.500 e encontrará o produto 18.000;

5. Divida o produto 18.000 pelo meio conhecido 900 e encontrará o meio desconhecido 20; escreva 20 na 6ª classe, para substituir o x.

Portanto, resposta do problema: x=20 peças.

3º Exemplo. Um ônibus, viajando da cidade A para a cidade B, fez o percurso em 4 dias, a uma velocidade média de 60km-hora.

Na viagem de volta, dobrou a velocidade.

Quantos dias gastou da cidade B para a cidade A?

1. Identifique as razões contidas neste problema e encontrará 60:120 e 4:x;

2. Com estas razões, estabeleça a seguinte proporção: 60:120::4:x;

Nesta proporção, há duas grandezas inversamente proporcionais:

velocidade e dias; por isso, a regra de três é simples e inversa;

3. Inverta os termos da razão da incógnita, estabelecendo a seguinte proporção: 60:120::x:4;

4. Escreva no sorobã, 60 na 7ª classe, 120 na 6ª e 4 na 4ª, deixando a 5ª classe vaga para representar o x;

5. Multiplique no lado direito do sorobã, os extremos 60 e 4 e encontrará o produto 240;

6. Divida o produto 240 pelo meio conhecido 120 e encontrará o meio desconhecido 2; escreva 2 na 5ª classe, para substituir o x.

Portanto, resposta do problema: x=2 dias.

4º Exemplo. Um ônibus, viajando a uma velocidade de 50km por hora, percorreu em 6 dias, a distância de 2.000km. Quantos km percorrerá em 3 dias, viajando a uma velocidade de 75km por hora?

1. Identifique as razões contidas neste problema e encontrará:

50:75, 6:3 e 2.000:x;

2. Com estas razões, estabeleça a seguinte proporção:

50:75::6:3::2.000:x;

Neste problema, há três grandezas diretamente proporcionais:

velocidade, dias e distância; por isso, a regra de três é composta e direta;

3. Transforme as razões de termos conhecidos em uma única razão, multiplicando entre si antecedentes e conseqüentes e encontrará a seguinte proporção de duas razões: 300:225::2.000:x;

4. Escreva no sorobã 300 na 7ª classe, 225 na 6ª e 2.000 na 5ª e 4ª, deixando a 3ª classe vaga, para representar o x;

5. Multiplique no lado direito do sorobã os meios 225 e 2.000 e encontrará o produto 450.000;

6. Divida o produto 450.000 pelo extremo conhecido 300 e encontrará o extremo desconhecido 1.500; escreva 1.500 na 3ª e 2ª classes, para substituir o x.

Portanto, resposta do problema: x=1.500km.

5º Exemplo. 120 operários, trabalhando 8 horas por dia, construíram uma estrada em 90 dias. Em quantos dias 240 operários construiriam a mesma estrada, trabalhando 6 horas por dia?

1. Identifique as razões contidas neste problema e encontrará: 90:x, 8:6 e 120:240;

Esta regra de três é composta, porque tem 3 grandezas proporcionais:

operários, horas e dias; é inversa, porque aumentando o número de operários, diminuirá o número de dias e diminuindo o número de horas, aumentará o número de dias;

2. Com estas razões, estabeleça a seguinte proporção:

90:x::8:6::120:240;

3. Transforme as razões de termos conhecidos em uma única razão, multiplicando os antecedentes e os conseqüentes, e chegará à seguinte proporção: 90:x::960:1.440;

4. Inverta os termos da razão da incógnita e encontrará:

x:90::960:1.440;

5. Escreva no sorobã: 90 na 6ª classe, 960 na 5ª e 1.440 na 4ª e 3ª, deixando a 7ª classe vaga, para representar o x;

6. Multiplique no lado direito do sorobã, os meios 90 e 960 e encontrará o produto 86.400;

7. Divida o produto 86.400 pelo extremo conhecido 1.440 e encontrará o extremo desconhecido 60; escreva 60 na 7ª classe, para substituir o x.

Portanto, resposta do problema: x=60 dias.

PROVA DA REGRA DE TRÊS

Para verificar a exatidão dos cálculos da regra de três, considere a proporção final, depois de resolvida, e proceda como na prova das proporções:

1. Calcule o produto dos extremos.

2. Calcule o produto dos meios.

Se ambos os produtos forem iguais, estarão certos os cálculos da regra de três.


CAPÍTULO 22

PORCENTAGEM

PRELIMINARES

1. Porcentagem é uma quantidade calculada à razão de 100 para determinada taxa.

Por conseguinte, podemos realizar os cálculos da porcentagem através de uma proporção assim: 100:i::C:p (100 está para i assim como C está para p), cujos termos significam:

100 - antecedente da 1ª razão, valor invariável;

i - conseqüente da 1ª razão, valor variável, indica a taxa (o quanto em cada cem);

C - antecedente da 2ª razão, valor variável, indica o principal (quantidade da qual se deseja calcular a porcentagem);

p - conseqüente da 2ª razão, valor variável, indica a porcentagem (o correspondente à taxa, em proporção com o principal).

2. Qualquer dos 3 elementos - taxa, principal, porcentagem -, pode estar oculto pela incógnita.

3. Quando a incógnita for i, escreveremos no lado esquerdo do sorobã os termos conhecidos da proporção, deixando a 6ª classe vaga, para representar o i; a seguir, efetuaremos os cálculos da proporção, para encontrar a taxa.

4. Quando a incógnita for C, escreveremos no lado esquerdo do sorobã os termos conhecidos da proporção, deixando vaga a 5ª classe, para representar o C; a seguir, efetuaremos os cálculos da proporção, para encontrar o principal.

5. Quando a incógnita for p, escreveremos no lado esquerdo do sorobã os termos conhecidos da proporção, deixando vaga a 4ª classe, para representar o p; a seguir, efetuaremos os cálculos da proporção, para encontrar a porcentagem.

6. Para trabalhar com números mais baixos nos cálculos da porcentagem, você poderá simplificar a razão de termos conhecidos, desde que estes não sejam números primos ou primos entre si.

7. Para encontrar 1% de qualquer quantidade, basta dividir o número por 100:

7.1 Número inteiro - Retirar os dois algarismos da direita, se forem 00; em caso contrário, separá-los com o sinal decimal: 1% de 800 = 8; 1% de 305 = 3,05.

7.2 Número decimal - Deslocar o sinal decimal duas ordens à esquerda: 1% de 345,6 = 3,456.

7.3 Fração ordinária - Acrescentar 00 ao denominador: 1% de 4/9 = 4/900.

8. Para encontrar 10% de qualquer quantidade, basta dividir o número por 10:

8.1 Número inteiro - Retirar o último algarismo da direita, se for 0; em caso contrário, separá-lo pelo sinal decimal: 10% de 690 = 69; 10% de 25 = 2,5.

8.2 Número decimal - Deslocar o sinal decimal uma ordem à esquerda:

10% de 45,6 = 4,56.

8.3 Fração ordinária - Acrescentar 0 ao denominador: 10% de 4/9 = 4/90.

9. Para maior segurança na aprendizagem das técnicas de cálculo da porcentagem e treinamento de sua agilidade no sorobã, repita a execução dos exemplos aqui apresentados, elabore e execute outros exercícios deste cálculo.

PRÁTICA DO CÁLCULO

1º Exemplo. Calcular a porcentagem: 100:5::80:p.

1. Escreva 100, 5 e 80 respectivamente na 7ª, 6ª e 5ª classes do sorobã, deixando a 4ª classe vaga, para representar o p;

2. Multiplique os meios 5 e 80 no lado direito do sorobã, e encontrará o produto 400;

3. Divida o produto 400 pelo extremo conhecido 100 e encontrará o quociente 4, que é a porcentagem; escreva 4 na 4ª classe, para substituir o p.

Portanto, p = 4.

2º Exemplo. Calcular o principal: 100:16::C:64.

1. Escreva 100, 16 e 64, respectivamente na 7ª, 6ª e 4ª classes, deixando a 5ª classe vaga para representar o C;

2. Multiplique os extremos 100 e 64 no lado direito do sorobã, e encontrará o produto 6.400;

3. Divida o produto 6.400 pelo meio conhecido 16 e encontrará o quociente 400, que é o principal; escreva 400 na 5ª classe, para substituir o C.

Portanto, C = 400.

3º Exemplo. Calcular a taxa: 100:i::250:20.

1. Escreva 100, 250 e 20 respectivamente na 7ª, 5ª e 4ª classes, deixando a 6ª classe vaga para representar o i;

2. Multiplique os extremos 100 e 20 no lado direito do sorobã, e encontrará o produto 2.000;

3. Divida o produto 2.000 pelo meio conhecido 250 e encontrará o quociente 8, que é a taxa; escreva 8 na 6ª classe, para substituir o i.

Portanto, i = 8.

Se você desejar trabalhar com números mais baixos, simplifique a razão de termos conhecidos, obtendo, neste exemplo, a seguinte proporção equivalente: 100:i::25:2;

Realizando os cálculos desta proporção, obterá o mesmo resultado:

i=8.

4º Exemplo. Calcular 1% de 519, sem recorrer ao processo das proporções.

1. Escreva 519 no lado esquerdo do sorobã;

2. Separe com o sinal decimal os dois algarismos da direita, escrevendo 5,19 em relação ao ponto 1.

Portanto, 1% de 519 = 5,19.

5º Exemplo. Calcular 10% de 42,5, sem recorrer ao processo das proporções.

1. Escreva 42,5 em relação ao ponto 6;

2. Desloque o sinal decimal uma ordem à esquerda, escrevendo 4,25 em relação ao ponto 1.

Portanto, 10% de 42,5 = 4,25.

6º Exemplo. Calcular 10% de 2/5, sem recorrer ao processo das proporções.

1. Escreva 2/5 em relação ao ponto 6;

2. Acrescente 0 ao denominador, escrevendo 2/50 em relação ao ponto 1.

3. Simplifique 2/50 e encontrará 1/25.

Portanto, 10% de 2/5 = 1/25.

PROVA REAL DA PORCENTAGEM

Terminados os cálculos da porcentagem, de qualquer de suas variáveis, para ter a certeza de sua exatidão, calcule:

1. O produto dos extremos.

2. O produto dos meios.

Se ambos os produtos forem iguais, estarão certos os cálculos da porcentagem.


CAPÍTULO 23

JUROS

PRELIMINARES

1. Juros são os rendimentos de um capital em proporção percentual, relativamente ao tempo, durante certo período.

2. Nos cálculos de juros, por se tratar de percentual, o número 100 é invariável e constante.

3. As quantias e quantidades variáveis são as seguintes:

j - juros - os rendimentos do capital c - capital - valor que vai render os juros i - taxa - o quanto de rendimento em cada 100 t - tempo - período de vigência dos juros M - montante - capital adicionado aos juros

4. Nos cálculos de juros, há sempre uma incógnita.

5. Quando a incógnita é j, calculamos os juros através da expressão: j=cit/100.

6. Quando a incógnita é c, calculamos o capital através da expressão: c=100j/it.

7. Quando a incógnita é i, calculamos a taxa através da expressão: i=100j/ct.

8. Quando a incógnita é t, calculamos o tempo através da expressão: t=100j/ci.

9. Quando a incógnita é M, calculamos o montante através da expressão: M=c+cit/100.

No cálculo do montante, procedemos assim:

9.1 Determinamos o valor do capital c;

9.2 Determinamos o valor dos juros j;

9.3 Adicionamos os dois valores.

O total encontrado será o montante.

10. É bom relembrar que, para multiplicar um número inteiro por 100, basta acrescentar 00 a esse numero. Se for número decimal, basta deslocar o sinal decimal duas ordens à direita. Às vezes, este deslocamento transforma decimal em número inteiro.

11. Para dividir um número inteiro por 100, basta retirar os dois algarismos da direita, se forem 00; em caso contrário, separá-los com o sinal decimal. Se o número for decimal, deslocaremos o sinal decimal duas ordens à esquerda.

12. Para maior segurança na sua aprendizagem dos cálculos de juros no sorobã, repita a execução dos exemplos aqui apresentados, elabore e execute outros exercícios destes cálculos.

PRÁTICA DO CÁLCULO

1º Exemplo. Calcular os juros de R$2.346,00, emprestados por um período de2 anos, à taxa de 5% ao mês.

1. Identifique os termos conhecidos e encontrará:

c=2.346 i=5 t=24 meses, porque, a taxa é mensal e o período de investimento é 2 anos = 24 meses;

2. j=2.346x5x24/100;

3. Escreva 2.346 e 5 no lado esquerdo do sorobã como multiplicandos e 24 no lado direito, como multiplicador, com 7 ordens vagas, porque são 5 os algarismos dos multiplicandos e 2 os multiplicandos (5+2=7 ordens vagas);

4. Multiplique 2.346 por 24 e encontrará 56.304 com duas ordens vagas;

5. Multiplique 5 por 56.304 e encontrará 281.520;

6. Divida o produto 281.520 por 100 e encontrará 2.815,20, que é o valor de j.

Portanto, j=R$2.815,20 (dois mil oitocentos e quinze Reais e vinte Centavos).

2º Exemplo. Calcular o capital que, durante 1 ano e 6 meses, rendeu R$72,00, à taxa de 2% ao mês.

1. Identifique os termos conhecidos e encontrará:

j=72;

100j=7.200;

i=2;

t=18 meses;

Portanto, c=7.200/(2*18)

2. Multiplique o 2 pelo 18 e encontrará 36 na 1ª classe do sorobã;

3. Transfira o produto 36 para a 7ª classe e escreva no lado direito do sorobã o valor de 100j, isto é, 7.200;

4. Divida 7.200 por 36 e encontrará o quociente 200, que é o valor do capital.

Portanto, c=R$200,00 (duzentos Reais).

3º Exemplo. Calcular a taxa anual de um empréstimo de R$2.000,00, que rendeu R$300,00 de juros, no período de 2 anos.

1. Identifique os termos conhecidos e encontrará:

j=300 100j=30.000 c=2.000 t=2

2. Multiplique 2.000 por 2 e encontrará 4.000 no lado direito do sorobã;

3. Transfira o produto 4.000 para o lado esquerdo e escreva no lado direito do sorobã o valor de 100j, isto é, 30.000;

4. Divida 30.000 por 4.000 e encontrará o quociente 7,5, que é a taxa.

Portanto, i=7,5%.

4º Exemplo. Calcular o tempo em que o capital R$3.000,00 rendeu de juros R$50,00, à taxa de 2% ao mês.

1. Identifique os termos conhecidos e encontrará:

j=50 100j=5.000 c=3.000 i=2

2. Multiplique 3.000 por 2 e encontrará o produto 6.000 no lado direito do sorobã;

3. Transfira o produto 6.000 para o lado esquerdo e escreva no lado direito do sorobã o valor de 100j, isto é, 5.000;

4. Temos agora, no sorobã, um caso interessante de divisão, dividendo < que divisor; neste caso, duas alternativas de solução se apresentam: acrescentaremos 0 ao dividendo para possibilitar a divisão e encontraremos o quociente em número decimal ou, então, formaremos com os termos da divisão uma fração ordinária, a qual será o quociente procurado;

Optando pela segunda alternativa, teremos: quociente = 5.000/6.000, que é o tempo procurado;

5. Simplifique esta fração e encontrará 5/6;

Portanto, t=5/6 meses;

6. Calcule 5/6 do mês e encontrará 25 dias.

Portanto, solução final: t=25 dias.

5º Exemplo. Calcular em que tempo R$2.000,00 renderam R$ 50,00 de juros, à taxa de 1% ao mês.

1. Identifique os termos conhecidos e encontrará:

j=50 100j=5.000 c=2.000 i=1

2. Multiplique 2.000 por 1 e encontrará 2.000 no lado direito do sorobã;

3. Transfira o produto 2.000 para o lado esquerdo e escreva no lado direito do sorobã o valor de 100j, isto é, 5.000;

4. Divida 5.000 por 2.000 e encontrará o quociente 2,5, que é o tempo procurado.

Portanto, t=2,5 meses ou 2 meses e 15 dias.

6º Exemplo. Calcular o montante. Um comerciante comprou certa mercadoria por R$5.000,00 e, depois de 3 meses, a vendeu com um lucro de 5% ao mês.

Qual o montante?

1. Identifique o valor do capital e encontrará c=5.000;

2. Seguindo a dinâmica dos exemplos anteriores, calcule o valor dos juros e encontrará j=750;

3. Adicione os dois valores e encontrará 5.750.

Portanto, M=R$5.750,00 (cinco mil e setecentos e cinqüenta Reais).

7º Exemplo. Calcular o montante. Certo capital, investido durante 4 anos, à taxa de 5% ao ano, rendeu R$1.000,00 (um mil Reais).

Qual o montante?

1. Seguindo a dinâmica dos exemplos anteriores, calcule o capital e encontrará c=5.000;

2. Registre o valor dos juros: j=1.000;

3. Adicione os dois valores e encontrará o total 6.000.

Portanto, M=R$6.000,00 (seis mil Reais).


CAPÍTULO 24

IMPORTÂNCIA DO SISTEMA SOROBÃ NA ESTIMULAÇÃO PSICOMOTORA

Visando promover o maior aproveitamento possível do Sistema, lembramos neste capítulo as vantagens da Prática Sorobã, também como valioso instrumento para a estimulação psicomotora, tanto das pessoas não deficientes, quanto das pessoas deficientes em qualquer idade, especialmente na idade do desenvolvimento orgânico.

Através da estimulação, o sorobã pode contribuir para o crescimento humano, do ponto de vista da atuação psicomotora, do lazer, terapia e cultura.

Consideramos de urgente necessidade, que nossas escolas, em geral, adotem o Sistema de Cálculo Sorobã, já na educação básica.

O sorobã como instrumento de estimulação psicomotora, oferece duas ordens de atividades:

1) Atividades extracálculos;

2) Atividades do cálculo.

As primeiras, aplicáveis aos iniciantes do sorobã, se constituem de exercícios lúdico-pedagógicos para familiarização com o aparelho, não incluindo aprendizagem das técnicas de cálculo, em que crianças e adultos, deficientes e não deficientes, podem conhecer o aparelho, brincar com ele, manuseando suas contas, contando os pontos da régua, contando os algarismos, contando as classes, aprendendo a ler e escrever números, aprendendo a escrever datas, números de telefone, etc.

Nestas atividades iniciais, já devemos estimular a ação das duas mãos: a direita, atuando mais da borda direita ao meio do sorobã e vice-versa; a esquerda, atuando mais da borda esquerda ao meio do sorobã e vice-versa.

Os exercícios de contagem das classes e dos pontos podem ser:

a) ordem crescente - mão direita;

b) ordem decrescente - mão esquerda;

c) ordem crescente - a mão direita, até o meio do sorobã e a esquerda, do meio até a borda esquerda;

d) ordem decrescente - a mão esquerda, da borda esquerda até o meio e a direita, do meio até a borda direita.

Os exercícios de contagem dos eixos e das contas podem ser feitos, inicialmente com uma das mãos e, depois, com as duas: a direita atuando no lado direito e a esquerda atuando no lado esquerdo do sorobã.

As atividades do cálculo, aplicáveis no segundo estágio de desenvolvimento dos aprendizes, incluem a iniciação e prosseguimento na aprendizagem das técnicas de cálculo, começando por exercícios simples, para continuar numa gradação ascendente, conforme o desenvolvimento e a capacidade de cada indivíduo.

Devidamente precedido das atividades lúdico-pedagógicas, o cálculo sorobã leva a pessoa a trabalhar com as duas mãos,ao mesmo tempo que vai falando as operações que realiza, enquanto vivencia mentalmente todo o processo.

Esta atuação psicomotora-manubilateral favorece o desenvolvimento da pessoa, estimulando a coordenação motora, o raciocínio, a memória e a prontidão mental para a ação.

Pelo fato de estimular as funções intelectuais, acredita-se que a Prática Sorobã pode minimizar os efeitos da esclerose. Por que não utilizá-la também com esta finalidade terapêutica?

Tudo isto justifica que O Sistema Sorobã seja utilizado também como instrumento de estimulação psicomotora.

Os japoneses, bons conhecedores do valor do sorobã para a estimulação, antevendo a necessidade de maior desenvolvimento cerebral e maior ritmo mental do homem no próximo milênio, por exigência de possíveis tecnologias cada vez mais avançadas, já começam ensiná-lo às crianças a partir dos três anos e meio de idade. Esta informação foi prestada por uma professora japonesa, em entrevista na televisão brasileira.

Como ficou esclarecido acima, as crianças podem ser estimuladas a utilizar o sorobã em atividades lúdico-pedagógicas, mesmo antes de iniciarem os estudos de aritmética.

Saibamos criar situações em que o sorobã seja brinquedo e lazer.

Podemos brincar de sorobã com as crianças, assim:

- Encostando na régua as continhas de baixo - Encostando na régua as continhas de cima - Afastando da régua as continhas de baixo - Afastando da régua as continhas de cima - Contando os eixos - Contando as continhas dos eixos - Contando os pontos da régua (ordem crescente e decrescente) - Contando as classes (ordem crescente e decrescente)

Podemos estimular a memorização das crianças, com estas e outras perguntas:

- Quantos pontos tem a régua?

- Quantas continhas tem cada eixo?

- Quantos eixos tem o sorobã?

- Que quer dizer a palavra sorobã?

- Que quer dizer a palavra ábaco?

- Quem adaptou o sorobã para uso dos cegos no Brasil?

No sorobã, podemos estabelecer competição entre indivíduos e grupos:

- Realizando leitura e escrita coletiva de números, isto é, passando de um aluno a outro, por exemplo, datas importantes do aluno, da família, da escola, da Pátria;

- Um aluno escrevendo um número e outro escrevendo outro número;

- Um aluno escrevendo para outro ler, etc.

Todas estas tarefas do sorobã e exercícios mentais a ele referentes, podem ser aplicados também a adultos e idosos iniciantes, segundo as necessidades, visando sempre lazer, terapia, cultura.

Embora nos referindo, na maior parte deste livro , a pessoas sem deficiência mental, reconhecemos a importância das atividades lúdico-pedagógicas do sorobã, também para os portadores dessa deficiência. É interessante que os professores e demais especialistas da Área estejam atentos para isto.

Estas atividades, independentes da aprendizagem das técnicas de cálculo propriamente ditas, são úteis à iniciação das pessoas portadoras de cegueira, de visão subnormal, de deficiência auditiva, de deficiência mental, das pessoas vítimas de AVC menos severo e de pessoas não deficientes.

Toda esta prática recomendável ao atendimento da criança e do adulto, deve ser adotada de acordo com a capacidade e o desenvolvimento de cada indivíduo.

Professor:

Certamente você já promove atividades voltadas para o desenvolvimento psicomotor de seus alunos.

Sugerimos que você inclua nessas atividades, o Sistema Sorobã também como instrumento de estimulação psicomotora.

A criatividade dos mestres e demais especialistas envolvidos na educação, será capaz de ampliar esta página do Sistema Sorobã, que continua pouco explorada entre nós.

Já é tempo de explorarmos inteligentemente toda esta riqueza do Sistema Sorobã, presente no campo da estimulação.

Está colocada aqui, portanto, a proposta de descortinamento deste horizonte, o qual, muitas vezes, tem passado despercebido.


CAPÍTULO 25

METODOLOGIA DO ENSINO DE SOROBÃ

Para alcançar o êxito desejado no ensino de sorobã, é necessário adotar um procedimento metodológico. Antes de iniciar o ensino, é prudente uma sondagem do potencial perceptivo e cognitivo do aluno. A pessoa que ainda não tiver desenvolvida a sua capacidade de localização, com noção clara de direita, esquerda, acima, abaixo, etc., necessita exercitar-se neste aspecto, para depois iniciar o estudo das técnicas de cálculo.

Um bom esquema de trabalho no ensino do sorobã, parece-nos resumir-se nos seguintes pontos:

1. Avaliação da capacidade de localização, da percepção tátil, da visualização, da audição e do grau de desenvolvimento pessoal do aluno, e subseqüente orientação e treinamento no que for necessário. Esta avaliação será realizada pelo professor, através da observação direta do aluno.

2. Iniciar o ensino, pelo conhecimento do aparelho. Conhecer o sorobã, significa tomar conhecimento de sua forma e de seus componentes (régua, pontos da régua, contas, eixos, classes, borracha), e saber algo de sua história, sendo capaz de responder a estas perguntas: que é ábaco? que quer dizer sorobã? quem adaptou o sorobã para uso dos cegos no Brasil? que diferença há entre o sorobã e a calculadora eletrônica?

3. Exercitar os alunos nas atividades lúdico-pedagógicas, mencionadas no capítulo 24. Não esquecer que estas atividades, por si, já constituem os primeiros exercícios de estimulação psicomotora do Sistema Sorobã.

4. Ensinar a leitura e a escrita de números com as duas mãos, isto é, a mão esquerda trabalhando da borda esquerda até o meio do sorobã e a direita trabalhando do meio até a borda direita. Consulte no capítulo 3, os exercícios para treinamento das duas mãos. A escrita e a leitura de números com as duas mãos neste aparelho, são condições básicas para uma prática satisfatória do sistema, consoante às suas peculiaridades e técnicas específicas, tendo as seguintes vantagens:

4.1 Favorece a coordenação motora.

4.2 Facilita a sincronização rítmicca entre a operação mental e a atuação manual.

4.3 Facilita a prática das operações diretamente do papel para o sorobã, dando grande rapidez aos trabalhos de cálculo.

5. Iniciar o ensino das técnicas de cálculo, começando por exercícios os mais simples possíveis, seguindo depois uma gradação ascendente, para exercícios mais complexos:

5.1 Exercícios de adição, com todos os termos no sorobã.

5.2 Exercícios de adição ditada, isto é, somente o total no sorobã.

5.3 Exercícios de adição direta, isto é, as parcelas escritas em Braille ou em tinta e no sorobã somente o total.

5.4 Exercícios de subtração, com todos os termos no sorobã.

5.5 Exercícios de subtração ditada.

5.6 Exercícios de subtração direta.

5.7 Prosseguir, introduzindo as demais operações.

6. Ensinar as técnicas do sorobã, relacionando os exercícios com fatos da vida real.

7. Repetir os exercícios, para melhor memorização das técnicas e desenvolvimento da agilidade.

Em todo este procedimento, devemos estar atentos a possíveis casos de aprendizagem lenta ou de maior celeridade. Lentos e céleres, tanto quanto as pessoas de ritmo comum, devem ser estimulados a uma rapidez maior em sua atuação no sorobã, uma vez que este aparelho, por natureza, inspira rapidez, e o progresso está sempre a exigir maior e melhor produção, em menos tempo e menor custo. A rapidez no sorobã é necessária e empolgante, mas deve ser estimulada em atitude de atenção e paciência para com as diferenças individuais.

Para ministrar cursos de sorobã a turmas de professores, iniciantes ou que necessitem de atualização ou reciclagem na matéria, elaboramos este Esquema:


CURSO DE SOROBÃ - 60 HORAS-AULA

CONTEÚDO PROGRAMÁTICO
 
1º Estágio - 20 horas-aula
- Exórdio: O Sistema Sorobã - Cálculo e Estimulação Psicomotora
- Conhecimento do Sorobã - Escrita de Números no Sorobã
- As Quatro Operações Fundamentais com Números Inteiros e Decimais
 
2º Estágio - 20 horas-aula
- Fatoração
- Máximo Divisor Comum
- Mínimo Múltiplo Comum
- Numeração Fracionária
- As Quatro Operações com Frações Ordinárias
 
3º Estágio - 20 horas-aula
- Potenciação
- Radiciação
- Razões e Proporções
- Regra de Três
- Porcentagem
- Juros

Observações:

1. O 2º Estágio supõe o 1º; o 3º Estágio supõe o 1º e o 2º.
2. Conforme a necessidade da turma alvo, podemos ministrar o curso completo, abrangendo os três Estágios, ou um curso menor, abrangendo um ou dois de seus Estágios.
Versão Dosvox-Word Por Gabriel do Nascimento Soares


BIBLIOGRAFIA CONSULTADA

SOROBÃ APARELHO DE CÁLCULO PARA CEGOS 1ª e 2ª EDIÇÕES JOAQUIM LIMA DE MORAES FUNDAÇÃO PARA O LIVRO DO CEGO NO BRASIL - SÃO PAULO
TÉCNICA DE CÁLCULO E DIDÁTICA DO SOROBÃ OLEMAR SILVA DA COSTA JONIR BECHARA CERQUEIRA INSTITUTO BENJAMIN CONSTANT - RIO DE JANEIRO
MATEMÁTICA - 1º GRAU BENEDITO CASTRUCCI JOSÉ RUI GIOVANNI RONALDO G. PERETTI EDITORA FTD S/A.
CIÊNCIAS E EDUCAÇÃO AMBIENTAL - 15ª EDIÇÃO DANIEL CRUZ EDITORA ÁTICA S.A. - SÃO PAULO
SEIS ESTUDOS DE PSICOLOGIA JEAN PIAGET FORENSE UNIVERSITÁRIA - RIO DE JANEIRO  
 


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O Sorobã para Todos/Gildo Soares da Silva.
GILDO SOARES DA SILVA
ASSISTENTE SOCIAL - CRESS
Olinda: Ed. do Autor. 1999.
 

 

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6.Abr.2020
Maria José Alegre