 
Boécio
e Pitágoras numa competição matemática. | Xilogravura retirada do livro 'Margarita Philosophica'
- Gregor Reisch of Freiburg, 1503
Convidada a prefaciar "O Sorobã para Todos", passei a
rememorar os tempos de minha infância, quando as operações
aritméticas eram ensinadas na escola sem demonstração
concreta do processo. Aprendia-se os "dogmas" da Matemática sem oportunidade de estabelecer relações
entre os elementos em estudo. A experiência de quarenta e dois anos em sala de aula,
levou-me a entender que as maiores dificuldades no
aprendizado da Matemática vêm da maneira como ela é
apresentada ao aluno nos primeiros anos de escola.
Quando iniciei o trabalho em Educação Especial, na área
da deficiência visual, é que conheci o sorobã. Obtive com
ele bons resultados. Sobre sua utilização, o Prof. Gildo nos
dá valiosas contribuições, como por exemplo, quando afirma
que, antes de iniciar o ensino das técnicas de cálculo, é
importante fazer-se uma sondagem do potencial perceptivo e
cognitivo do aluno,trabalhando-se as noções de direita,
esquerda, acima, abaixo, etc. Será preciso corrigir as
deficiências que houverem, e só então, iniciar a utilização
do sorobã como aparelho de cálculo. Com o sorobã, temos condições de levar o sistema de
numeração para um campo dentro da realidade e percepção,
seja da criança ou do adulto, com ou sem deficiência, mas
principalmente da criança deficiente visual, que passará a
ler as continhas com as duas mãos, utilizando-se de algo
concreto e não apenas da idéia abstrata de quantidade.
Concordo plenamente com o autor, quando apresenta o
sorobã também como instrumento de estimulação psicomotora
independentemente da idade, como está no capítulo 24. O
desenvolvimento psicomotor está sempre a exigir estimulação
constante, com exercícios variados em resolução de situações
problemáticas, impostas a crianças e adultos, atuando-se de
acordo com as necessidades de cada caso, levando-se em
consideração a fase de desenvolvimento de cada indivíduo.
É preciso saber utilizar-se do sorobã, observando bem
suas técnicas e cuidados como os citados neste livro, para
obter-se bons resultados e, assim, poder-se comprovar as
vantagens deste sistema, sabendo-se que, quem opera o sorobã
sabe realmente o que está fazendo, sem condicionamento às
conveniências de aparelhos programados como as calculadoras
eletrônicas.
Parabéns, Prof. Gildo.
Como ex-Professora da Escola Especial Instituto de Cegos, em
Recife, agradece
Nilza Pessôa
INTRODUÇÃO
Reconhecemos no sorobã, o melhor aparelho de cálculo até
agora utilizado pelos cegos. Em nossa experiência de ensino no Instituto de Cegos da
Santa Casa de Misericórdia do Recife, e nos cursos de
especialização e de reciclagem em que participamos,
lecionando "Técnicas de Cálculo no Sorobã", em Pernambuco e
Estados vizinhos, tivemos oportunidade de observar que, as
dificuldades de algumas pessoas, estavam mais relacionadas a
questões de embasamento teórico e prático de aritmética e a
questões de metodologia do ensino em geral, do que às
técnicas do sorobã, propriamente ditas.
A grande facilidade de cálculo que este aparelho
apresenta, leva-nos a afirmar que, até os analfabetos podem
aprender a ler e escrever números no sorobã e chegar a
efetuar algumas operações aritméticas menos complexas, sem
aprenderem a escrita em tinta ou em Braille.
Na primeira metade da década de 50, graças a um desenho
do alfabeto em pontos por nós encontrado numa das lições do
2º Livro da Série "Pátria Brasileira", do Prof. Renato
Sêneca Fleury, Edições Melhoramentos, que apresentava as
letras do Braille de "a" até "z", e subseqüente
correspondência nossa com o Ilustre Dr. Custódio Batista de
Castro, então diretor do Instituto São Rafael, de Belo
Horizonte, aprendemos o Sistema Braille. A seguir, conseguimos junto à Fundação para o Livro do
Cego no Brasil, reglete, sorobã e livros em Braille, entre
os quais o "Sorobã - Aparelho de Cálculo para Cegos", do Sr.
Joaquim Lima de Moraes. Lendo este livro, aprendemos a
calcular no sorobã. Também fomos beneficiados pelo Instituto Benjamin
Constant, que sempre nos mandou livros em Braille de várias
matérias.
Ao chegar no Instituto de Cegos da Santa Casa de
Misericórdia do Recife, em 1957, onde ingressamos para
estudar, conhecemos a chapa e o cubaritmo. O operador da chapa utilizava uma coleção de tipos
metálicos, contendo os algarismos em relevo, na forma comum.
Durante os trabalhos de cálculo, o operador fazia muitas
buscas nos tipos, para localizar os algarismos necessários
ao cálculo, o que tornava a operação por demais morosa. O operador do cubaritmo utilizava uma coleção de cubos de
um centímetro, aproximadamente. Cada face dos cubos levava um algarismo em Braille. Numa
das faces, havia um traço para simbolizar sinais de
operação. O operador fazia menos buscas do que na chapa, porque
qualquer cubo que apanhasse continha o algarismo desejado. Por isso, o cálculo no cubaritmo é menos moroso do que na
chapa, contando porém, com o inconveniente de, às vezes, os
cubos virarem facilmente, inutilizando a operação.
O sorobã, como aparelho de cálculo de grande rapidez e
sem os inconvenientes da chapa e do cubaritmo, serve muito
mais aos cegos, tanto na vida escolar quanto na vida
quotidiana. À nossa chegada em Recife, somente um aluno do Instituto
utilizava a chapa. Os demais usavam o cubaritmo.
Portanto, tivemos a honra de introduzir o sorobã no
Instituto de Cegos de Pernambuco em 1957, onde, ao início da
década de 70, o cubaritmo já estava definitivamente
substituído. Os professores especializados da rede pública, que
começaram atender aos cegos do Instituto na década de 60,
iniciaram o seu trabalho utilizando o cubaritmo mas, a
seguir, adotaram o sorobã pois, aprenderam suficientemente o
novo sistema de cálculo para os programas que ministravam.
Atualmente, observamos a necessidade de redinamização do
ensino de sorobã, de novos incentivos e mais divulgação
deste sistema de cálculo. Temos encontrado alunos que perderam a visão depois de
alguns anos de escolaridade e, procurando o ensino especial,
aprenderam só o Braille e continuam os estudos calculando
apenas mentalmente. Mesmo entre os que estudam o sorobã, o grau de
aproveitamento nem sempre tem atingido os níveis desejados. A assimilação satisfatória do Sistema Sorobã, como
acontece com os outros conhecimentos, depende também do
estímulo à vontade de aprender.
A demonstração objetiva do valor do sorobã e a
instituição de concursos sorobã pela escola, com a
finalidade de despertar nos alunos maior interesse por este
sistema de cálculo,bem como outros eventos similares,
certamente virão ao encontro desta necessidade. Outrossim, é necessário ensinar o sorobã com entusiasmo e
segurança, para que os alunos possam aprender também com
entusiasmo e segurança. Importa que o livro de sorobã esteja sempre ao alcance do
professor, para que ele possa dirimir suas dúvidas, sem
necessidade de ficar esperando por reciclagem que, muitas
vezes, não conta com tempo suficiente. Sugerimos que, pelo menos, as escolas especiais reservem
tempo, para Reuniões Ordinárias de Estudos do Sorobã. Nestas
reuniões, os professores que têm maior facilidade na
compreensão da Matemática, poderão ajudar aqueles de menor
facilidade e, assim, os alunos serão melhor beneficiados. No nosso entendimento, os professores de educação básica
do deficiente visual, devem estar tão capacitados no Sistema
Sorobã quanto no Sistema Braille.
Ao publicar este livro, o fazemos na esperança de que as
pessoas interessadas possam aprender e praticar o cálculo
sorobã com facilidade. Por isso, nos exemplos de cálculo, apresentamos
exercícios fáceis, por acreditar que estes devem constituir
o primeiro degrau de uma boa aprendizagem. Pensamos que essas pessoas interessadas não são apenas os
cegos, mas também os professores especializados da área,
cegos ou não, e os próprios familiares e amigos dos cegos
que assumem a louvável missão de ajudá-los em seus estudos,
enfim, pessoas portadoras de outras deficiências e pessoas
sem deficiência, levando-se em consideração, inclusive, a
importância do Sistema Sorobã para a estimulação
psicomotora.
Em "O Sorobã para Todos", temos estes objetivos:
-
Facilitar os processos de aprendizagem e de ensino
do sorobã a todas as pessoas, deficientes e não
deficientes.
-
Incentivar a utilização do sorobã também como
instrumento de estimulação psicomotora.
-
Incentivar a valorização do Sistema Sorobã, em
igualdade de importância com o Sistema Braille,
especialmente na educação básica do deficiente visual.
Todos, deficientes e não deficientes, em qualquer idade,
podem ser beneficiados pelo Sistema Sorobã. Pelo fato de estimular a coordenação motora e a atuação
mental, a Prática Sorobã constitui atividade pedagógica de
grande importância no processo educativo da criança, e é
considerada ação minimizadora dos efeitos da esclerose no
adulto.
O sorobã não é uma calculadora eletrônica. Esta, mediante
comandos recebidos de seu operador, elabora as operações,
porque está programada para isto. O sorobã, na simplicidade de seu mecanismo, independente
de circuito elétrico, permite grande rapidez no cálculo, mas
não elabora as operações mediante comandos. Apenas
possibilita que seu operador elabore conscientemente,
seguindo as técnicas de cálculo previamente aprendidas. É preciso pois, aprender as técnicas de cálculo (e não
simples comandos), para calcular no sorobã. Desse modo, o estudo e a prática do Cálculo Sorobã
contribuem para o desenvolvimento intelectual e subseqüente
aprimoramento da aprendizagem. O sorobã, portanto, pode ser conduzido à banca de exames,
inclusive nos concursos, sem ferir a Ética.
Os capítulos que tratam dos cálculos apresentados neste
livro, foram estruturados em duas partes: "Preliminares" e
"Prática do Cálculo". Nos Preliminares, pretendemos promover a memorização de
noções, princípios e convenções, indispensáveis a uma boa
prática do Cálculo Sorobã. Na Prática do Cálculo, exemplificamos a dinâmica das
operações através de exercícios simples, visando maior
rapidez e segurança na aprendizagem.
Neste livro, você poderá aprender as técnicas de cálculo
das quatro operações fundamentais com números inteiros e
decimais, da Fatoração, do MDC, do MMC, das operações com
Números Fracionários, da Potenciação, da Radiciação, das
Razões e Proporções, da regra de três, da Porcentagem e dos
Juros. Quando você adquirir boa prática, certamente será capaz
de planejar maneiras de efetuar no sorobã, outros cálculos
não incluídos aqui.
No capítulo 24, comentamos sobre a Importância do Sistema
Sorobã na Estimulação Psicomotora. Finalizamos este trabalho no capítulo 25, comentando
sobre Metodologia do Ensino de Sorobã. Lendo este livro e manuseando o aparelho, você poderá
aprender sozinho a calcular no sorobã ou, se for o caso,
complementar a sua aprendizagem.
CONHECIMENTO DO SOROBÃ
Sorobã é a palavra japonesa para designar o ábaco
("padrão de contagem").
O ábaco foi inventado pelos chineses há cinco mil anos,
aproximadamente, e é conhecido como a primeira máquina de
calcular.
Não temos informações precisas da evolução do ábaco, até
chegar ao sorobã dos nossos dias, isto é, um aparelho que
nos permite realizar com facilidade e rapidez as operações
aritméticas.
O ábaco entrou para o Japão há centenas de anos, e é
usado em suas escolas, em suas casas comerciais, por
engenheiros, etc.
Trazido para o nosso país pelos japoneses, o sorobã ou
ábaco japonês está hoje difundido no Brasil e em vários
outros países da América, da Europa e da África.
Nós, cegos do Brasil, começamos a utilizá-lo há cinqüenta
anos. O sorobã veio substituir com grandes vantagens, os
aparelhos de cálculo até então usados pelos cegos.
Em meados deste século, foi adaptado no Brasil para uso
dos cegos, pelos senhores Joaquim Lima de Moraes (que se
tornou funcionário da Fundação para o Livro do Cego no
Brasil, hoje Fundação Dorina Nowill para Cegos) e seu aluno
José Valesin.
O senhor Moraes, já na condição de deficiente visual,
depois de haver pesquisado sobre os aparelhos de cálculo
utilizados pelos cegos no Brasil, insatisfeito com as
limitações destes aparelhos, encontrou o sorobã com os
japoneses. Estudou suas técnicas e escreveu as primeiras
instruções, ensinando aos cegos o modo de calcular neste
aparelho.
Publicou o primeiro livro do gênero no nosso país em
1951: "Sorobã - Aparelho de Cálculo para Cegos". Sua 2ª
edição, ampliada e melhorada, veio a público em 1965.
O senhor Valesin introduziu a borracha compressora em
julho de 1949, com a finalidade de controlar melhor o
deslizamento das contas nos eixos, tornando o sorobã um
aparelho perfeito, principalmente para operadores
deficientes visuais.
O sorobã, portanto, não foi criado especialmente para uso
dos cegos mas, para isto adaptado, a fim de facilitar o seu
manuseio pelos cegos.
O sr. Joaquim Lima de Moraes, com apoio da então Fundação
para o Livro do Cego no Brasil, fez a divulgação de seu
trabalho no nosso país, pelos outros países da América e na
Europa.
Mesmo que os cegos já utilizassem o sorobã no Japão,
segundo nos informou em Recife um comerciante japonês, esta
adaptação significou grande contribuição do Brasil ao ensino
da Matemática ao deficiente visual.
Como sempre acontece no processo de mudança, o trabalho
do sr. Joaquim Lima de Moraes foi recebido com euforia desde
o princípio, por aqueles que perceberam logo as vantagens do
sorobã, mas também sofreu alguma resistência, ao nosso ver,
superada.
Em 1978, tendo já o Instituto Benjamin Constant
reconhecido a importância do sorobã para o deficiente
visual, dois de seus professores, Olemar Silva da Costa e
Jonir Bechara Cerqueira, publicaram o livro "Técnica de
Cálculo e Didática do Sorobã".
Há sorobãs de madeira, de plástico, sorobãs de 27, de 21,
de 18 e até de menos eixos ou algarismos, sorobãs com cinco
e com mais de cinco contas em cada eixo, sorobãs de contas
esféricas, sorobãs de contas bicônicas, etc.
Vejamos a descrição do sorobã que recomendamos, isto é, o
de 21 eixos e de 5 contas bicônicas em cada eixo, pois a ele
nos referimos neste livro, por considerá-lo com espaço
suficiente para as operações aritméticas, ser o sorobã de 5
contas o apropriado para o nosso sistema de numeração de
base 10 e as contas bicônicas mais convenientes à percepção
tátil.
As contas bicônicas, com a distância entre os vértices
menor que o diâmetro da base, proporcionam melhores
condições de percepção e movimento, permitindo espaçamento
ideal na largura dos retângulos.
Este aparelho tem a forma retangular, com uma espécie de
régua em posição horizontal, que o divide em dois
retângulos: um largo e um estreito.
O retângulo largo deve ficar voltado para o operador,
enquanto o estreito em posição oposta.
A régua é transpassada por eixos que vão da borda
inferior à borda superior.
Cada eixo tem cinco contas, sendo quatro no retângulo
largo e uma no retângulo estreito.
As contas do retângulo largo valem um; as contas do
retângulo estreito valem cinco.
Costumeiramente, chamamos as contas do retângulo
estreito, "continhas de cima"; as contas do retângulo largo,
"continhas de baixo".
Cada eixo, com suas contas, representa um algarismo.
A régua contém pontos salientes, para dividir o sorobã em
classes de três algarismos ou ordens. Há sorobãs que, ao
invés de pontos, têm, na régua, traços para separar as
classes.
Assim, um sorobã de vinte e um algarismos tem, na régua,
seis pontos, para dividi-lo em sete classes de três ordens.
As classes são nomeadas da direita para a esquerda: 1ª
classe, a da direita; 7ª classe, a da esquerda.
Os pontos da régua também são nomeados da direita para a
esquerda, de um até seis. Assim, o ponto da direita é o
ponto um e o da esquerda é o ponto seis.
Cada classe tem três ordens: unidade, dezena, centena,
sempre da direita para a esquerda.
A 1ª classe é a classe das unidades, a 2ª é a classe dos
milhares, a 3ª é a classe dos milhões, etc.
A borracha compressora se localiza por trás dos eixos.
Quando as contas estiverem meio folgadas, podemos regular
a sua pressão, retirando o fundo do sorobã e colocando por
trás da borracha folhas de papel, até satisfazer a
regulagem.
Nada impede que operemos em sorobãs de menor número de
algarismos porém, quanto menor o número de algarismos de um
sorobã, maiores as restrições de espaço e subseqüente
necessidade de dois sorobãs nos trabalhos de cálculo, à
exceção das operações diretas e ditadas.
Como vimos, o sorobã apresenta seus algarismos num
alinhamento horizontal, de sorte que suas classes numéricas
não podem ser sobrepostas umas às outras em paralelo, para
construção de colunas verticais.
Isto favorece a atuação das duas mãos nos trabalhos de
cálculo, impondo a prática de técnicas específicas que,
atendendo rigorosamente aos princípios da Matemática,
permitem grande rapidez e segurança.
Assim, por exemplo, na adição, escrevemos as parcelas
seguidas horizontalmente no lado esquerdo do sorobã e
operamos, registrando o total no lado direito. Aí, a mão
esquerda se encarrega da escrita e leitura das parcelas
durante a operação, enquanto a direita registra os
resultados. Portanto, as parcelas se sucedem cada uma à
direita da outra e o total à direita de todas as parcelas ou
seja, tudo no mesmo segmento horizontal.
Por isso, a técnica de adicionar as parcelas no sentido
da leitura dos números, permite que a mão esquerda as leia
da primeira à última, sem deslocamentos inconvenientes,
dando maior rapidez ao cálculo, e possibilita a prática da
adição ditada, o que seria muito difícil, adicionando as
parcelas no sentido inverso da leitura.
As demais operações aritméticas também são realizadas no
mesmo segmento horizontal, obedecendo a técnicas
específicas, de acordo com as peculiaridades do aparelho.
Você poderá verificar isto, nos capítulos de 4 a 23, que
abordam a dinâmica das operações aritméticas no sorobã.
A facilidade de escrever números no sorobã, apagar
números, substituir números, deslocar números, permite
várias possibilidades de cálculo neste aparelho, com todos
os seus termos no mesmo sorobã, ou em dois sorobãs, ou
calculando-se diretamente do papel para o sorobã ou ainda,
realizando-se operações ditadas.
Por isso, o ensino e a prática do Cálculo Sorobã serão
mais proveitosos, à medida em que soubermos explorar as
possibilidades deste aparelho, seguindo suas técnicas
específicas.
Assim, podemos realizar no sorobã, com facilidade,
segurança e rapidez, as operações aritméticas, com números
inteiros, decimais e fracionários.
Por conseguinte, o progresso na aprendizagem e prática
das técnicas do sorobã, depende de dois fatores: da
capacidade de cada indivíduo e da exploração adequada deste
Sistema de Cálculo, de acordo com suas peculiaridades.
Ha pessoas que, depois de dominarem plenamente as
técnicas, chegam até a operar em sorobãs imaginários.
Se a escola em geral adotasse o sorobã, com os
professores estudando mais assiduamente este Sistema, não
haveria tanta gente pensando que não gosta de matemática.
ESCRITA DE NÚMEROS NO SOROBÃ
Quando as contas, em determinado eixo, estiverem
afastadas da régua, aí estará escrito 0.
Quando, em todos os eixos, as contas estiverem afastadas
da régua, estará escrito 0 em todo o sorobã.
Antes de qualquer exercício no sorobã, afaste da régua
todas as contas, isto é, deixe o sorobã em zero.
Para escrever números no sorobã, proceda assim:
0 - afaste as contas da régua;
1 - empurre uma continha de baixo, até encostar na régua,
na ordem das unidades;
2 - empurre duas continhas, na ordem das unidades;
3 - empurre três continhas;
4 - empurre as quatro continhas de baixo;
5 - puxe a continha de cima, na ordem das unidades, até
encostar na régua;
6 - empurre uma continha das de baixo e puxe a continha
de cima, na ordem das unidades;
7 - empurre duas continhas de baixo e puxe a de cima;
8 - empurre três continhas de baixo e puxe a de cima;
9 - empurre as quatro de baixo e puxe a continha de cima;
10 - empurre uma continha de baixo na ordem das dezenas,
até encostar na régua, deixando as continhas afastadas da
régua na ordem das unidades;
20 - 2 na dezena e 0 na unidade;
50 - 5 na dezena e 0 na unidade;
90 - 9 na dezena e 0 na unidade;
100 - 1 na ordem das centenas, 0 na dezena e 0 na
unidade;
1.000 - 1 na unidade da 2ª classe, 0 na centena, dezena e
unidade da 1ª classe (o ponto um da régua separa a ordem dos
milhares da ordem das centenas);
2,5 - 2 na unidade da 2ª classe e 5 na centena da 1ª;
3/4 (três quartos) - 3 na unidade da 2ª classe e 4 na
unidade da 1ª;
4 2/7 (4 inteiros e 2 sétimos) - 4 na unidade da 3ª
classe, 2 na unidade da 2ª e 7 na unidade da 1ª;
2\5 (2 elevado a 5) - 2 na unidade da 2ª classe e 5 na
unidade da 1ª.
Podemos escrever um número em qualquer parte do sorobã,
desde que ajustado às suas classes. Exs.:
1 na 1ª classe = 1 na unidade da 1ª classe; 1 na 3ª
classe = 1 na unidade da 3ª classe; 42 na 2ª classe = 4 na
dezena e 2 na unidade da 2ª classe, etc.
Qualquer ponto da régua pode significar: separação de
classes, sinal decimal, barra de fração, sinal de razão,
sinal de proporção, sinal de expoente, etc.
Para registrar número de telefone de 7 algarismos no
sorobã, escrevemos o prefixo a começar na unidade da 3ª
classe ou da 7ª.
Os números de telefone com 8 algarismos, devem começar a
sua escrita na dezena da 3ª classe ou da 7ª.
Assim, o número do telefone estará ajustado ao sorobã.
Para escrever datas no sorobã, registramos o número do
dia na 3ª classe, o número do mês na 2ª e o número do ano na
1ª.
Ex.: 02/01/99 = 2 na unidade da 3ª classe, 1 na unidade
da 2ª e 99 na dezena e unidade da 1ª.
Para escrever datas com os quatro algarismos do número do
ano, registramos o número do dia na 4ª classe, o número do
mês na 3ª e o número do ano ocupando a 2ª e 1ª classes.
Ex.: 28/02/1999 = 28 na dezena e unidade da 4ª classe, 2
na unidade da 3ª e 1999 ocupando a unidade da 2ª e toda a 1ª
classe.
TREINAMENTO DAS DUAS MÃOS
Na leitura e escrita de números no sorobã, utilizamos
mais o indicador e polegar de ambas as mãos, nada impedindo
que se utilize também o dedo médio, se isto for cômodo para
o operador.
EXERCÍCIOS COM NÚMEROS IGUAIS
1º. Escreva com a mão esquerda, um número de um algarismo
na 7ª classe e, com a direita, o copie na 1ª classe; depois,
apague.
Repita este exercício várias vezes com outros números de
um algarismo.
2º. Escreva com a mão esquerda, um número de dois
algarismos na 7ª classe e, com a direita, o copie na 1ª
classe; depois, apague.
Repita este exercício várias vezes com outros números de
dois algarismos.
3º. Escreva com a mão esquerda, um número de três
algarismos na 7ª classe e, com a direita, o copie na 1ª
classe; depois apague.
Repita várias vezes este exercício, com outros números de
três algarismos.
4º. Escreva com a mão esquerda, um número de quatro
algarismos no lado esquerdo do sorobã e, com a direita, o
copie no lado direito;
depois, apague.
Repita várias vezes este exercício com outros números de
quatro algarismos.
EXERCÍCIOS COM NÚMEROS DIFERENTES
5º. Escreva no lado esquerdo um número de um algarismo e
no lado direito um número de dois; a seguir, apague os
números e os escreva invertendo a posição, isto é, o da
direita na esquerda e o da esquerda na direita. Repita este
exercício com vários números.
6º. Escreva um número de dois algarismos no lado esquerdo
e um de três no lado direito; a seguir, apague os números e
os escreva em posição invertida. Repita este exercício com
vários números.
7º. Escreva um número de 3 algarismos no lado esquerdo e
um de quatro no lado direito; a seguir, apague os números e
os escreva em posição invertida. Repita este exercício com
vários números.
ADIÇÃO - INTEIROS E DECIMAIS -
PRELIMINARES
1. Escrevemos as parcelas com a mão esquerda, no lado
esquerdo do sorobã, e efetuamos a adição no lado direito,
escrevendo com a mão direita os algarismos do total.
2. Terminada a adição de inteiros, o total estará na 1ª
classe, desde que tenha até 3 algarismos. Se ultrapassar a
ordem das centenas, o ponto 1 estará separando as centenas
dos milhares.
3. Terminada a adição de decimais, o ponto 1 estará
separando os inteiros das ordens decimais, desde que o total
tenha até 3 decimais. De 4 até 6 decimais, o ponto 2 será o
sinal decimal do total.
4. A parcela de maior número de ordens decimais, nos
permite escolher por antecipação o ponto da régua que deve
representar o sinal decimal do total. Portanto, ao
efetuarmos a adição de números decimais, o fazemos de sorte
que a unidade do total, coincida com uma unidade de classe
do sorobã, imediatamente à esquerda de um ponto da régua.
5. No sorobã, é mais conveniente adicionar as parcelas no
sentido da leitura dos números, isto é, das ordens
superiores para as ordens inferiores. Esta inovação,
introduzida já na 2ª edição revista e melhorada de "Sorobã -
Aparelho de Cálculo para Cegos", do Sr. Joaquim Lima de
Moraes, publicada em 1965, tem as seguintes vantagens:
5.1 Permite que, durante a operação, a mão esquerda leia
as parcelas, da primeira à última, sem interrupções para
deslocamentos inconvenientes, proporcionando maior rapidez
ao cálculo;
5.2 Facilita a prática da adição direta;
5.3 Possibilita a prática da adição ditada, que pode ser
útil, também em exercícios de classe, para desenvolvimento
da agilidade.
6. Quando uma adição for constituída de muitas parcelas
ou de parcelas grandes que excedam o espaço de um sorobã,
você poderá utilizar dois sorobãs ou efetuar a operação
diretamente do papel para o sorobã.
7. Para maior segurança na aprendizagem das técnicas de
cálculo da adição e desenvolvimento de sua agilidade no
sorobã, repita a execução dos exemplos aqui apresentados,
elabore você próprio e execute outros exercícios deste
cálculo.
PRÁTICA DO CÁLCULO
1º Exemplo. Calcular: 1+3+4=8. Prova dos 9: 8 8.
1. Escreva, com a mão esquerda, as parcelas 1, 3 e 4 na
7ª , 6ª e 5ª classes;
2. Com a mão esquerda na 7ª classe e a direita na 1ª,
adicione a 1ª parcela, escrevendo 1 com a mão direita, na
unidade da 1ª classe;
3. Passe a mão esquerda para a 6ª classe e adicione a 2ª
parcela, falando da esquerda para a direita: 3+1=4; escreva
4 no lugar do 1 (unidade da 1ª classe);
4. Passe a mão esquerda para a 5ª classe e adicione a 3ª
parcela com o resultado das duas primeiras: 4+4=8; escreva 8
no lugar do 4 (unidade da 1ª classe).
Portanto, total = 8.
2º Exemplo. Calcular: 5+6+8=19. Prova dos 9: 1 1.
1. Escreva as parcelas 5, 6 e 8, na 7ª, 6ª e 5ª classes;
2. Adicione a 1ª parcela, escrevendo 5 na unidade da 1ª
classe;
3. Adicione a 2ª parcela: 6+5=11; escreva 1 no lugar do 5
(unidade da 1ª classe) e leve 1 para a ordem das dezenas ,
dizendo: 1+0=1; escreva 1 no lugar do 0 (dezena da 1ª
classe);
4. Adicione a 3ª parcela com o resultado das duas
primeiras; unidade com unidade: 8+1=9; escreva 9 no lugar do
1 (unidade da 1ª classe). Portanto, total = 19.
3º Exemplo. Calcular: 35+12=47. Prova dos 9: 2 2.
1. Escreva as parcelas 35 na 7ª e 12 na 6ª classe;
2. Adicione a 1ª parcela, escrevendo 35 na 1ª classe;
3. Adicione a 2ª parcela; dezena com dezena: 1+3=4;
escreva 4 no lugar do 3 (dezena da 1ª classe); unidade com
unidade: 2+5=7; escreva 7 no lugar do 5 (unidade da 1ª
classe).
Portanto, total = 47.
4º Exemplo. Calcular: 845+79=924. Prova dos 9: 6
6.
1. Escreva 845 na 7ª classe e 79 na 6ª;
2. Adicione a 1ª parcela, escrevendo 845 na 1ª classe;
3. Adicione a 2ª parcela; dezena com dezena: 7+4=11;
escreva 1 no lugar do 4 (dezena da 1ª classe) e leve 1 para
a ordem das centenas:
1+8=9; escreva 9 no lugar do 8; adicione as unidades:
9+5=14; escreva 4 no lugar do 5 (unidade da 1ª classe) e
leve 1 para a ordem das dezenas:
1+1=2; escreva 2 no lugar do 1.
Portanto, total = 924.
5º Exemplo. Calcular: 2,5+4,6=7,1. Prova dos 9: 8
8.
1. Escreva 2,5 em relação ao ponto 6 e 4,6 em relação ao
ponto 5;
2. Adicione a 1ª parcela, escrevendo 2,5 em relação ao
ponto 1;
3. Adicione a 2ª parcela: 4+2=6; escreva 6 no lugar do 2
(unidade da 2ª classe); e prossiga: 6+5=11; escreva 1 no
lugar do 5 (centena da 1ª classe) e leve 1 para as unidades
da 2ª classe: 1+6=7; escreva 7 no lugar do 6.
Portanto, total = 7,1.
6º Exemplo. Calcular: 7,85+3,15=11. Prova dos 9: 2
2.
1. Escreva as parcelas em relação aos pontos 6 e 4;
2. Adicione a 1ª parcela, escrevendo 7,85 em relação ao
ponto 1;
3. Adicione a 2ª parcela; unidade com unidade: 3+7=10;
escreva 0 no lugar do 7 (unidade da 2ª classe) e vai 1;
escreva 1 na dezena da 2ª classe; prosseguindo, décimos com
décimos: 1+8=9; escreva 9 no lugar do 8 (centena da 1ª
classe); centésimos com centésimos: 5+5=10; escreva 0 no
lugar do 5 e vai 1 para a ordem dos décimos: 1+9=10; escreva
0 no lugar do 9 (centena da 1ª classe) e vai 1 para a ordem
das unidades: 1+0=1; escreva 1 no lugar do 0 (unidade da 2ª
classe).
Portanto, total = 11,00=11.
ADIÇÃO DIRETA
Para adicionar diretamente do papel para o sorobã,
coloque a mão direita no lado direito do sorobã e, com a
esquerda, leia as parcelas em Braille, enquanto realiza no
sorobã a sua adição.
A este processo, chamamos adição direta.
Os videntes podem realizar a adição direta, lendo com os
olhos as parcelas em tinta ou em Braille.
ADIÇÃO DITADA
Também é possível realizar adição ditada:
À medida que o professor (OU OUTRA PESSOA) vai lendo as
parcelas, o operador as adiciona no sorobã.
Esta prática, que permite grande rapidez no cálculo, só
deve ser adotada quando o aluno tiver dominado bem a técnica
da adição.
Este processo estimula a agilidade e exercita a prontidão
mental para o cálculo.
ESTÍMULO À AGILIDADE
O Sr. Joaquim Lima de Moraes recomendava, para estimular
a agilidade, exercícios que consistem em adicionar dez vezes
a mesma parcela no sorobã.
Exemplo: Adicionar 10 vezes a parcela 4:
Escrever a parcela 4 na 7ª classe e adicioná-la 10 vezes
na 1ª classe, até chegar ao número 40:
4+0=4; escreva 4 no lugar do 0 4+4=8; escreva 8 no lugar
do 4 4+8=12; escreva 12 no lugar do 8 4+12=16; escreva 16 no
lugar do 12 4+16=20; escreva 20 no lugar do 16 4+20=24;
escreva 24 no lugar do 20 4+24=28; escreva 28 no lugar do 24
4+28=32; escreva 32 no lugar do 28 4+32=36; escreva 36 no
lugar do 32 4+36=40; escreva 40 no lugar do 36 (fim do
exercício)
Após a repetição de exercícios simples para estímulo da
agilidade, experimente efetuar adição direta.
Por fim, experimente efetuar adição ditada.
PROVA DOS 9 DA ADIÇÃO
1. Escolha um ponto livre da régua.
2. Com a mão esquerda, tire os 9 às parcelas e escreva o
resultado à esquerda do ponto escolhido, isto é na ordem das
unidades.
3. Com a mão direita, tire os 9 ao total e escreva o
resultado à direita do ponto escolhido, isto é, na ordem das
centenas .
Se os dois resultados separados pelo ponto forem iguais,
supõe-se certa a adição.
PROVA REAL DA ADIÇÃO
Subtraia do total, todas as parcelas sucessivamente. Se o
resto final for igual a zero, a adição estará certa. A prova
real da adição só pode ser praticada por quem já conheça as
técnicas de cálculo da subtração.
SUBTRAÇÃO - INTEIROS E DECIMAIS -
PRELIMINARES
1. Escrevemos o minuendo com a mão direita, no lado
direito do sorobã e o subtraendo com a mão esquerda, no lado
esquerdo.
2. Durante a operação, o minuendo desaparece para dar
lugar ao resto. Por isso, para efeito de prova,
registramo-lo próximo ao subtraendo.
3. Na subtração de números decimais, o ponto 1 da régua
será o sinal decimal do minuendo e do resto, desde que
tenham até 3 ordens decimais.
O sinal decimal do subtraendo no sorobã, será o ponto 6
da régua, desde que a parte inteira tenha até 3 algarismos.
4. No sorobã, é mais conveniente efetuar a subtração no
sentido da leitura dos números, isto é, das ordens
superiores para as ordens inferiores. Esta inovação,
introduzida já na 2ª edição revista e melhorada de "Sorobã -
Aparelho de Cálculo para Cegos", do Sr. Joaquim Lima de
Moraes, publicada em 1965, tem as seguintes vantagens:
4.1 Facilita a prática da subtração direta;
4.2 Possibilita a prática da subtração ditada;
4.3 Propicia a agilidade do cálculo.
5. Para maior segurança na aprendizagem das técnicas de
cálculo da subtração e desenvolvimento de sua agilidade no
sorobã, repita a execução dos exemplos aqui apresentados,
elabore você próprio e execute outros exercícios deste
cálculo.
PRÁTICA DO CÁLCULO
1º exemplo. Calcular: 8-3=5. Prova dos 9: 8 8.
1. Escreva 8 na 1ª classe e 3 na 7ª;
2. Para efeito de prova, registre o 8 na 6ª classe;
3. Falando da esquerda para a direita, calcule: 3 para 8,
dá 5;
escreva 5 no lugar do 8 (unidade da 1ª classe).
Portanto, resto ou diferença = 5.
2º exemplo. Calcular: 23-9=14. Prova dos 9: 5 5.
1. Escreva 23 na 1ª classe e 9 na 7ª;
2. Registre o 23 na 6ª classe;
3. Com o indicador esquerdo sobre o 9 e o direito sobre o
3, calcule: 9 para 13, dá 4 e vai 1; escreva 4 no lugar do 3
(unidade da 1ª classe) e leve 1 para as dezenas: 1 para 2,
dá 1; escreva 1 no lugar do 2.
Portanto, resto ou diferença = 14.
3º exemplo. Calcular: 85-37=48. Prova dos 9: 4 4.
1. Escreva 85 na 1ª classe e 37 na 7ª;
2. Registre o 85 na 6ª classe;
3. Calcule, começando pelas dezenas: 3 para 8, dá 5;
escreva 5 no lugar do 8; Passe os indicadores para as
unidades e prossiga: 7 para 15, dá 8; escreva 8 no lugar do
5 (unidade) e leve 1 para as dezenas: 1 para 5, dá 4;
escreva 4 no lugar do 5 (dezena).
Portanto, resto ou diferença = 48.
4º exemplo. Calcular: 8,6-2,5=6,1. Prova dos 9: 5
5.
1. Escreva 8,6 em relação ao ponto 1 e 2,5 em relação ao
ponto 6;
2. registre o 8,6 em relação ao ponto 5;
3. Calcule: 2 para 8, dá 6; escreva 6 no lugar do 8
(unidade da 2ª classe); e prossiga: 5 para 6, dá 1; escreva
1 no lugar do 6 (centena da 1ª classe).
Portanto, resto ou diferença = 6,1.
Também é possível realizar no sorobã, subtração direta e
subtração ditada.
Na subtração direta, escrevemos no sorobã somente o
minuendo e efetuamos o cálculo com o subtraendo diretamente
do papel.
Na subtração ditada, alguém ditará os termos, enquanto o
operador calcula no sorobã.
Faça exercícios destas modalidades de subtração, para
desenvolver sua agilidade no cálculo.
É recomendável também, para desenvolvimento da agilidade
no cálculo da subtração, exercícios de subtrações sucessivas
de um único subtraendo, em que o minuendo seja 10 vezes
maior que o subtraendo e o subtraendo seja um número de um
só algarismo.
Seja, por exemplo, subtrair o número 4, 10 vezes do
número 40, até chegar ao resto 0:
1. Escreva o minuendo 40 na 1ª classe e o subtraendo 4 na
7ª;
2. Com a mão esquerda sobre o 4 e a direita sobre o 40,
pratique a técnica da subtração, conservando sempre o 4 na
7ª classe, e chegará aos seguintes resultados:
40-4=36 36-4=32 32-4=28 28-4=24 24-4=20 20-4=16 16-4=12
12-4=8 8-4=4 4-4=0 (fim do exercício)
PROVA DOS 9 DA SUBTRAÇÃO
1. Escolha um ponto livre da régua.
2. Tire os 9 ao minuendo e escreva o resultado à esquerda
do ponto escolhido, isto é, na unidade.
3. Tire os 9 ao subtraendo juntamente com o resto e
escreva o resultado à direita do ponto escolhido, isto é, na
centena.
Se os dois resultados separados pelo ponto forem iguais,
supõe-se certa a subtração.
PROVA REAL DA SUBTRAÇÃO
Adicione o subtraendo ao resto.
Se o total for igual ao minuendo, a subtração estará
certa.
MULTIPLICAÇÃO - INTEIROS E DECIMAIS -
PRELIMINARES
1. Escrevemos o multiplicando no lado esquerdo do sorobã
e o multiplicador no lado direito, com tantas ordens vagas
quantos forem os algarismos do multiplicando mais um.
2. As ordens vagas, à direita do multiplicador,
significam o lugar onde vai ser escrito o produto.
3. Durante a operação, o multiplicador desaparece. Por
isso, para efeito de prova, registramo-lo próximo ao
multiplicando.
4. À medida que calculamos, vamos logo adicionando os
produtos parciais.
5. O 1º produto parcial de cada algarismo do
multiplicador, terá sua unidade adicionada à 2ª ordem à
direita dele. Do 2º produto em diante, adicionamos a sua
unidade imediatamente à direita da unidade do produto
parcial anterior. Ao passarmos a outro algarismo do
multiplicador, a seqüência recomeça.
6. Realizamos a multiplicação de números decimais no
sorobã, como se fossem inteiros. Terminada a operação, o
número de ordens decimais do produto é igual à soma do
número de decimais dos fatores.
7. Quando o número de ordens decimais do produto for = 3
ou múltiplo de 3, o produto estará ajustado aos pontos da
régua. Quando o número de ordens decimais do produto não for
múltiplo de 3, devemos ajustá-lo a um ponto da régua, isto
é, escrevê-lo em relação a esse ponto, para evitar qualquer
confusão.
8. Na multiplicação de vários fatores no sorobã,
procedemos assim:
8.1 Consideramos o último fator como multiplicador e os
demais como multiplicandos.
8.2 Escrevemos os multiplicandos no lado esquerdo do
sorobã e o multiplicador no lado direito, com tantas ordens
vagas quantos forem os algarismos dos multiplicandos, mais
tantas quantos forem os multiplicandos.
8.3 O produto do 1º multiplicando será multiplicador do
2º multiplicando.
8.4 O produto do 2º multiplicando será multiplicador do
3º multiplicando.
E assim sucessivamente, até chegarmos ao produto final.
9. Quando o espaço de um sorobã for insuficiente para os
trabalhos de cálculo na multiplicação de vários fatores,
você terá duas alternativas de solução:
9.1 Poderá utilizar dois sorobãs: num deles, escreverá os
multiplicandos e no outro, escreverá o multiplicador, com
suas respectivas ordens vagas.
9.2 Poderá realizar a multiplicação direta, usando apenas
um sorobã: escreverá nele o multiplicador com suas ordens
vagas, e efetuará a operação, lendo os multiplicandos em
braille ou em tinta.
10. Qualquer número multiplicado por 0 é igual a 0.
11. Qualquer número multiplicado por 1 é igual a ele
próprio.
12. Para multiplicar um número inteiro por 10, basta
acrescentar 0 à direita dele; para multiplicar por 100,
acrescentar 00; para multiplicar por 1.000, acrescentar 000,
etc.
13. Para multiplicar um número decimal por 10, basta
deslocar o sinal decimal uma ordem à direita; por 100,
deslocar o sinal decimal duas ordens à direita; por 1.000,
deslocar o sinal decimal três ordens à direita, etc. Às
vezes, este deslocamento do sinal decimal transforma o
número decimal em número inteiro. Exemplo: 1,2*100=120.
14. Para maior segurança na aprendizagem das técnicas de
cálculo da multiplicação e desenvolvimento de sua agilidade
no sorobã, repita a execução dos exemplos aqui apresentados,
elabore você próprio e execute outros exercícios deste
cálculo.
PRÁTICA DO CÁwoodcut from the book Margarita Philosophica by Gregor Reisch of Freiburg, published in 1503LCULO
1º Exemplo. Calcular: 4*2=8. Prova dos 9: 4 2 8 8.
1. Escreva 4 na 7ª classe e 2 no lado direito do sorobã,
com duas ordens vagas, como se fosse 200; duas ordens vagas,
porque o multiplicando tem um algarismo: 1+1=2 ordens vagas;
2. Registre o 2 na 6ª classe, para efeito de prova;
3. Coloque o indicador direito sobre o 2 e o esquerdo
sobre o 4 e calcule, falando da direita para a esquerda:
2*4=8; apague o 2 e escreva 8 na 2ª ordem à direita dele
(unidade da 1ª classe).
Portanto, produto = 8.
2º Exemplo. Calcular: 4*3=12. Prova dos 9: 4 3 3
3.
1. Escreva 4 na 7ª classe e 3 no lado direito do sorobã,
com duas ordens vagas;
2. Registre o 3 na 6ª classe;
3. Com o indicador direito sobre o 3 e o esquerdo sobre o
4, calcule: 3*4=12; apague o 3 e escreva 12 à direita dele.
Portanto, produto = 12.
3º Exemplo. Calcular: 2*34=68. Prova dos 9: 2 7 5
5.
1. Escreva 2 na 7ª classe e 34 no lado direito do sorobã,
com duas ordens vagas;
2. Registre o 34 na 6ª classe;
3. Indicador direito sobre o 4 e esquerdo sobre o 2,
calcule: 4*2=8; apague o 4 e escreva o 8 duas ordens à
direita (unidade da 1ª classe);
4. Passe o indicador direito para o 3 e calcule: 3*2=6;
apague o 3 e escreva 6 na 2ª ordem à direita dele (dezena da
1ª classe). Portanto, produto = 68.
4º Exemplo. Calcular: 43*28=1.204. Prova dos 9: 7
1 7 7.
1. Escreva 43 na 7ª classe e 28 no lado direito do
sorobã, com três ordens vagas ;
2. Registre o 28 na 6ª classe;
3. Com o indicador direito sobre o 8 e o esquerdo sobre o
4, calcule: 8*4=32; apague o 8 (guardando-o de memória) e
escreva 32 à direita dele (centena e dezena da 1ª classe);
Com o indicador direito sobre o 2 e o esquerdo sobre o 3,
continue: 8(memorizado)*3=24; escreva 4 à direita do 2
(unidade) e leve 2 para adicionar às dezenas: 2+2=4; escreva
4 no lugar do 2;
4. Agora, trabalhe as dezenas do multiplicador,
calculando: 2*4=8; apague o 2 (memorizando-o) e adicione 8 à
2ª ordem à direita dele (centena da 1ª classe): 8+3=11;
escreva 1 no lugar do 3 e leve 1 para a ordem dos milhares:
1+0=1; escreva 1 no lugar do 0;
5. Passe o indicador esquerdo para o 3 e o direito para o
1 (centena da 1ª classe) e calcule: 2(memorizado)*3=6;
adicione 6 uma ordem à direita: 6+4=10; escreva 0 no lugar
do 4 (dezena) e leve 1 para a ordem das centenas: 1+1=2;
escreva 2 no lugar do 1.
Portanto, produto = 1.204.
5º Exemplo. Calcular: 4*2,3=9,2. Prova dos 9: 4 5
2 2.
1. Escreva 4 na 7ª classe e 2,3 no lado direito do
sorobã, com duas ordens vagas, como se fosse 2.300;
2. Registre o multiplicador 2,3 em relação ao ponto 5;
3. Calcule: 3*4=12; apague 3 e escreva 12 à direita dele;
4. Com o indicador direito sobre o 2 (unidade da 2ª),
prossiga: 2*4=8; apague o 2 e adicione 8 à 2ª ordem à
direita dele: 8+1=9; escreva 9 no lugar do 1 (dezena da 1ª
classe).
5. Considerando que o produto 92 tem uma ordem decimal,
porque um dos fatores tem uma ordem decimal, desloque-o para
ajustá -lo a um ponto da régua; escreva-o pois, em relação
ao ponto 1. Portanto, produto = 9,2.
6º Exemplo. Calcular: 4,1*6,2=25,42. Prova dos 9:
5 8 4 4.
1. Escreva 4,1 em relação ao ponto 6 e 6,2 no lado
direito do sorobã, com três ordens vagas;
2. Registre o 6,2 em relação ao ponto 5;
3. com o indicador direito sobre o 2 e o esquerdo sobre o
4, calcule: 2*4=8; apague o 2 (guardando-o de memória) e
escreva 8 duas ordens à direita (dezena da 1ª classe); com o
indicador direito sobre o 8 e o esquerdo sobre o 1, calcule:
2*1=2; escreva 2 à direita do 8 (unidade da 1ª classe);
4. Passe o indicador direito para o 6 e o esquerdo para o
4 e calcule: 6*4=24; apague o 6 e escreva 24 à direita dele;
5. Com o indicador direito sobre o 4 e o esquerdo sobre o
1, calcule: 6(memorizado)*1=6; adicione 6 à direita do 4:
6+8=14; escreva 4 no lugar do 8 (dezena da 1ª classe) e leve
1 para adicionar às centenas: 1+4=5; escreva 5 no lugar do
4;
6. Separe no produto , duas ordens para decimais, porque
a soma das decimais dos fatores é igual a 2; escreva pois,
25,42 em relação ao ponto 1 da régua. Portanto, produto =
25,42.
7º Exemplo. Calcular: 12*14*16=2.688.
1. Escreva os multiplicandos 12 e 14 na 7ª e 6ª classes e
o multiplicador 16 na 3ª classe, isto é, com 6 ordens vagas,
porque são 4 os algarismos dos multiplicandos e são 2 os
multiplicandos: 4+2=6 ordens vagas;
2. Realize a multiplicação do 12 pelo 16 e encontrará 192
na 2ª classe, que será o multiplicador do 14; observe que
192 já está com as 3 ordens vagas;
3. Realize a multiplicação do 14 pelo 192 e encontrará o
produto 2.688.
Portanto, produto final = 2.688.
PROVA DOS 9 DA MULTIPLICAÇÃO
1. Escolha um ponto livre da régua.
2. Tire os 9 ao multiplicando e escreva o resultado na
dezena à esquerda do ponto escolhido.
3. Tire os 9 ao multiplicador e escreva o resultado na
unidade.
4. Multiplique o 1º pelo 2º resultado, tire os 9 e
escreva o resultado na centena à direita do ponto escolhido.
5. Tire os 9 ao produto e escreva o resultado na dezena.
Se os dois resultados à direita do ponto forem iguais,
supõe-se certa a multiplicação.
PROVA REAL DA MULTIPLICAÇÃO
Divida o produto por um dos fatores;
Se o quociente for igual ao outro fator, a multiplicação
estará certa.
Observe que, você só poderá executar esta prova real,
quando souber as técnicas de cálculo da divisão.
DIVISÃO - INTEIROS E DECIMAIS -
PRELIMINARES
1. Escrevemos o dividendo no lado direito do sorobã e o
divisor no lado esquerdo.
2. Durante a operação, o dividendo desaparece para dar
lugar ao resto.
3. O quociente fica à esquerda do resto.
4. O resto fica entre a borda direita do sorobã e o
quociente.
5. O resto deve ocupar tantas ordens quantos forem os
algarismos do divisor mais 1. Portanto, se o divisor tiver
um algarismo, o resto terá dois; se o divisor tiver dois
algarismos, o resto terá três, ainda que sejam zeros.
6. O número das ordens correspondentes ao resto nas
divisões, está relacionado ao número das ordens vagas nas
multiplicações.
7. Cada algarismo do quociente será escrito com a mão
direita, tantas ordens à esquerda da unidade de seu
dividendo parcial, quantos forem os algarismos do divisor
mais 1.
8. Quanto à divisão de decimais, observe os seguintes
pontos:
8.1 O número de decimais do dividendo deve ser igual ou
maior do que o número de decimais do divisor.
8.2 O número de decimais do quociente será igual à
diferença entre as ordens decimais do dividendo e do
divisor.
8.3 Quando o número das ordens decimais do dividendo for
menor que o número das ordens decimais do divisor,
acrescentam-se zeros ao dividendo, até igualar o número de
ordens decimais de ambos os termos. O acréscimo de zeros à
direita das ordens decimais, não altera o valor do número.
8.4 Quando o dividendo for um número inteiro,
acrescentam-se zeros a esse dividendo como ordens decimais,
até igualar o número de decimais de ambos os termos.
8.5 Quando ambos os termos da divisão tiverem o mesmo
número de ordens decimais, o quociente será número inteiro.
9. Qualquer número dividido por 1 é igual a ele próprio.
10. Para dividir um número inteiro por 10, basta retirar
o algarismo da direita, se for 0; em caso contrário,
separá-lo do restante do número com o sinal decimal.
Para dividir por 100, retirar os dois algarismos da
direita, se forem 00; em caso contrário, separá-los com o
sinal decimal.
Para dividir por 1.000, retirar os três algarismos da
direita, se forem 000; em caso contrário, separá-los com o
sinal decimal.
11. Para dividir um número decimal por 10 ou por 100 ou
por 1.000, etc., basta deslocar o sinal decimal uma ordem ou
duas ordens ou três ordens à esquerda, etc.
12. Para maior segurança na aprendizagem das técnicas de
cálculo da divisão e desenvolvimento de sua agilidade no
sorobã, repita a execução dos exemplos aqui apresentados,
elabore você próprio e execute outros exercícios deste
cálculo.
PRÁTICA DO CÁLCULO
1º Exemplo. Calcular: 9 / 2=4 e resto 1. Prova dos
9: 2 4 0 0.
1. Escreva 9 com a mão direita na 1ª classe e 2 com a
esquerda na 7ª classe;
2. Para efeito de prova, registre o 9 com a mão esquerda
na 6ª classe;
3. Falando da direita para a esquerda, calcule: 9
dividido por 2 = 4; escreva 4 na 2ª ordem à esquerda do 9
(centena da 1ª classe);
4. Calcule: 4*2=8; 8 para 9 = 1; escreva 1 no lugar do 9
(unidade da 1ª classe).
Portanto, quociente = 4 e resto 01 ou 1.
2º Exemplo. Calcular: 17 / 3=5 e resto 2. Prova
dos 9: 3 5 8 8.
1. Escreva 17 na 1ª classe e 3 na 7ª;
2. Registre o 17 na 6ª classe ;
3. Calcule: 17 dividido por 3 = 5; escreva 5 na 2ª ordem
à esquerda do 7 (centena da 1ª classe);
4. Com o indicador direito sobre o 5 (centena da 1ª
classe) e o esquerdo sobre o 3, calcule: 5*3=15; 15 para 17
= 2; escreva 2 no lugar do 7 e apague o 1 da ordem das
dezenas.
Portanto, quociente = 5 e resto 02 ou 2.
3º Exemplo. Calcular: 245 / 23=10 e resto 15.
Prova dos 9: 5 1 2 2.
1. Escreva 245 na 1ª classe e 23 na 7ª;
2. Registre o 245 na 6ª classe;
3. calcule: 24 dividido por 23 = 1; escreva 1 na 3ª ordem
à esquerda do 4 (dezena da 2ª classe);
4. Com o indicador direito sobre o 1 e o esquerdo sobre o
2, calcule: 1*2=2; 2 para 2 = 0; escreva 0 no lugar do 2
(centena da 1ª classe); passe o indicador esquerdo para o 3
e calcule: 1*3=3; passe o indicador direito para o 4 e
calcule: 3 para 4 = 1; escreva 1 no lugar do 4 (dezena da 1ª
classe).
Portanto, quociente = 10 e resto 015 ou 15.
4º Exemplo. Calcular: 9.876 / 345=28 e resto 0216.
Prova dos 9: 3 1 3 3.
1. Escreva 9.876 no lado direito do sorobã e 345 na 7ª
classe;
2. Registre o 9.876 na 6ª e 5ª classes;
3. Com o indicador direito sobre o 7 (dezena da 1ª
classe) e a mão esquerda sobre o divisor, calcule: 987
dividido por 345 = 2; escreva 2 na 4ª ordem à esquerda do 7
(centena da 2ª classe); com o indicador esquerdo sobre o 3,
calcule: 2*3=6; passe o indicador direito para o 9 e
calcule: 6 para 9 = 3; escreva 3 no lugar do 9 (unidade da
2ª classe); passe o indicador esquerdo para o 4 e calcule:
2*4=8; e prossiga: 8 para 8 = 0; escreva 0 no lugar do 8
(centena da 1ª classe) ; passe o indicador esquerdo para o 5
e prossiga: 2*5=10; 10 para 17 = 7 e vai 1; escreva 7 no
lugar do 7 (já está escrito, dezena da 1ª classe) e leve 1
para a ordem das centenas: 1 para 10 = 9 e vai 1; escreva 9
no lugar do 0 (centena da 1ª classe ) e leve 1 para a ordem
dos milhares: 1 para 3 = 2; escreva 2 no lugar do 3 (unidade
da 2ª classe);
4. Passe o indicador direito para o 6 (unidade da 1ª
classe) e calcule: 2.976 dividido por 345 = 8; escreva 8 na
4ª ordem à esquerda do 6, isto é, dezena da 2ª classe; com o
indicador direito sobre o 8 e o esquerdo sobre o 3, calcule:
8*3=24; 24 para 29 = 5; escreva 5 no lugar do 9 (centena da
1ª classe) e apague o 2 (unidade da 2ª); passe o indicador
esquerdo para o 4 e calcule: 8*4=32; 32 para 57 = 25;
escreva 25 no lugar de 57 (centena e dezena da 1ª classe);
passe o indicador esquerdo para o 5 e calcule: 8*5=40; 40
para 56 = 16; escreva 16 no lugar de 56 (dezena e unidade da
1ª classe).
Portanto, quociente = 28 e resto 0216 ou 216.
5º Exemplo. Calcular: 3,75 / 1,5=2,5 e resto 000
ou 0. Prova dos 9: 6 7 6 6.
1. Escreva 3,75 na 1ª classe, como se fosse número
inteiro, e 1,5 em relação ao ponto 6;
2. Registre o 3,75 em relação ao ponto 5;
3. Com a mão direita sobre o dividendo e a esquerda sobre
o divisor, calcule: 37 dividido por 15 = 2; escreva 2 na 3ª
ordem à esquerda do 7 (dezena da 2ª classe); e calcule:
2*1=2; 2 para 3=1; escreva 1 no lugar do 3 (centena da 1ª
classe); e prossiga: 2*5=10; 10 para 17 = 7; escreva 7 no
lugar do 7 (já está escrito, dezena da 1ª classe) e apague o
1 da centena;
4. Com a mão direita sobre o 75, calcule: 75 dividido por
15, dá 5; escreva 5 na 3ª ordem à esquerda do 5 (unidade da
2ª classe); calcule:
5*1=5; 5 para 7=2; escreva 2 no lugar do 7 (dezena da 1ª
classe); e prossiga: 5*5=25; 25 para 25=0; escreva 0 no
lugar do 25.
Portanto, quociente = 2,5 e resto = 000 ou 0.
O quociente tem uma ordem decimal, porque o dividendo tem
uma ordem decimal a mais em relação ao divisor.
COMPLETAR O QUOCIENTE COM ORDENS DECIMAIS
Em qualquer divisão de inteiros ou decimais, que deixe
resto, você pode prosseguir os trabalhos de cálculo, para
completar o quociente com ordens decimais, até chegar ao
resto 0, ou a determinada ordem decimal, ou a uma dízima
periódica.
6º Exemplo. Calcular: 7,8 / 2,5=3 e resto 003 ou =
3,12 e resto 000 ou 0. Prova dos 9: 7 3 6 6.
1. Escreva 7,8 no lado direito do sorobã, como se fosse
número inteiro e 2,5 em relação ao ponto 6;
2. Registre o 7,8 em relação ao ponto 5;
3. Calcule: 78 dividido por 25, dá 3; escreva 3 na 3ª
ordem à esquerda do 8 (unidade da 2ª classe); calcule:
3*2=6; 6 para 7=1;
escreva 1 no lugar do 7 (dezena da 1ª classe); e
prossiga: 3*5=15;
calcule: 15 para 18=3; escreva 3 no lugar do 18.
Portanto, Quociente = 3 e resto 003 ou 3.
O quociente é número inteiro, porque ambos os termos da
divisão têm o mesmo número de ordens decimais.
Prosseguindo a divisão para completar o quociente:
1. Transfira o quociente 3 para as unidades da 4ª classe;
2. Acrescente 0 ao resto 3 , escrevendo 30 na 1ª classe;
3. Divida 30 por 25 e encontrará o quociente 1 e resto 5;
4. Transfira o quociente 1 para a centena da 3ª classe
(1ª ordem decimal);
5. Acrescente 0 ao resto 5, escrevendo 50 na 1ª classe;
6. Divida 50 por 25 e encontrará o quociente 2 e resto
000 ou 0;
7. Transfira o quociente 2 para a dezena da 3ª classe (2ª
ordem decimal).
Portanto, quociente completo = 3,12 e resto 000 ou 0.
7º Exemplo. Calcular: 23 / 5=4 e resto 3 ou = 4,6
e resto 00 ou 0.
Prova dos 9: 5 1 5 5.
1. Escreva 23 na 1ª classe e 5 na 7ª;
2. Registre 23 na 6ª classe;
3. Calcule: 23 dividido por 5, dá 4; escreva 4 na 2ª
ordem à esquerda do 3 (centena da 1ª classe); calcule:
4*5=20; 20 para 23=3; escreva 3 no lugar do 23 (unidade da
1ª classe).
Portanto, quociente = 4 e resto 03 ou 3.
Prosseguindo o cálculo, para completar o quociente:
1. Transfira o quociente 4 para a unidade da 5ª classe;
2. Acrescente 0 ao resto 3, escrevendo 30 na 1ª classe;
3. Seguindo a regra, divida 30 por 5 e encontrará 6 e
resto 00 ou 0;
4. Transfira o quociente 6 para a centena da 4ª classe e
formará o número 4,6, em relação ao ponto 4.
Portanto, quociente completo = 4,6 e resto 00 ou 0.
8º Exemplo . Calcular: 27 / 8=3 e resto 03 ou 3,
ou então = 3,375 e resto 00 ou 0. Prova dos 9: 8 3 0 0.
1. Escreva os termos nos seus devidos lugares;
2. Registre o 27 na 6ª classe;
3. Seguindo a regra, divida 27 por 8 e encontrará 3 e
resto 3;
4. Transfira o quociente 3 para a unidade da 5ª classe;
5. Acrescente 0 ao resto 3, escrevendo 30 na 1ª classe;
6. Seguindo a regra, divida 30 por 8 e encontrará 3 e
resto 6;
7. Transfira o quociente 3 para a centena da 4ª classe;
8. Acrescente 0 ao resto 6, escrevendo 60 na 1ª classe;
9. Seguindo a regra, divida 60 por 8 e encontrará 7 e
resto 4;
10. Transfira o quociente 7 para a dezena da 4ª classe;
11. Acrescente 0 ao resto 4, escrevendo 40 na 1ª classe;
12. Seguindo a regra, divida 40 por 8 e encontrará 5 e
resto 00 ou 0;
13. Transfira o quociente 5 para a unidade da 4ª classe.
Portanto, quociente completo = 3,375 e resto 00 ou 0.
9º Exemplo. Calcular: 25:3=8 e resto 01 ou 1, ou
então = 8,333... e resto 01 ou 1 (dízima periódica simples).
Prova dos 9: 3 8 7 7.
1. Escreva 25 na 1ª classe e 3 na 7ª;
2. Registre o dividendo 25 na 6ª classe;
3. Seguindo a regra, divida 25 por 3 e encontrará 8 e
resto 1;
4. Transfira o quociente 8 para a unidade da 5ª classe;
5. Acrescente 0 ao resto 1, escrevendo 10 na 1ª classe;
6. Seguindo a regra, divida 10 por 3 e encontrará 3 e
resto 1;
7. Transfira o quociente 3 para a centena da 4ª classe;
8. Acrescente 0 ao resto 1, escrevendo 10 na 1ª classe;
9. Divida 10 por 3 e encontrará 3 e resto 1;
10. Transfira o quociente 3 para a dezena da 4ª classe;
11. Acrescente 0 ao resto 1, escrevendo 10 na 1ª classe;
12. Divida 10 por 3 e encontrará 3 e resto 1;
13. Transfira o quociente 3 para a unidade da 4ª classe.
Os três quocientes iguais, repetidos imediatamente após o
sinal decimal, deixando o mesmo resto, indicam dízima
periódica simples.
Portanto, quociente final = 8,333... e resto 01 ou 1.
10º Exemplo. Calcular: 25 / 6=4 e resto 01 ou 1 ou
então = 4,1666... e resto 01 ou 1 (dízima periódica
composta). Prova dos 9: 6 2 7 7.
1. Escreva os termos nos seus devidos lugares;
2. Registre o dividendo 25 na 6ª classe;
3. Divida 25 por 6 e encontrará 4 e resto 1;
4. Transfira o quociente 4 para a unidade da 5ª classe;
5. Acrescente 0 ao resto 1, escrevendo 10 na 1ª classe;
6. Divida 10 por 6 e encontrará 1 e resto 4;
7. Transfira o quociente 1 para a centena da 4ª classe;
8. Acrescente 0 ao resto 4, escrevendo 40 na 1ª classe;
9. Divida 40 por 6 e encontrará 6 e resto 4;
10. Transfira o quociente 6 para a dezena da 4ª classe;
11. Acrescente 0 ao resto 4, escrevendo 40 na 1ª classe;
12. Divida 40 por 6 e encontrará 6 e resto 4;
13. Transfira o quociente 6 para a unidade da 4ª classe;
14. Acrescente 0 ao resto 4, escrevendo 40 na 1ª classe;
15. Divida 40 por 6 e encontrará 6 e resto 4;
16. Transfira o quociente 6 para a centena da 3ª classe.
Portanto, quociente = 4,1666... e resto 04 ou 4 (dízima
periódica composta).
Esta dízima periódica é composta, porque o período (a
parte decimal repetida) não vem imediatamente após o sinal
decimal.
PROVA DOS 9 DA DIVISÃO
1. Escolha um ponto livre da régua.
2. Tire os 9 ao divisor e escreva o resultado na dezena à
esquerda do ponto escolhido.
3. Tire os 9 ao quociente e escreva o resultado na
unidade.
4. Multiplique o 1º pelo 2º resultado, adicione ao resto,
tire os 9 e escreva o resultado na centena, à direita do
ponto.
5. Tire os 9 ao dividendo e escreva o resultado na
dezena.
Se os 2 resultados à direita do ponto forem iguais,
supõe-se certa a divisão.
PROVA REAL DA DIVISÃO
1. Multiplique o quociente pelo divisor.
2. Adicione o resto ao produto.
Se o resultado for igual ao dividendo, a divisão estará
certa.
Gravura cómica japonesa de um sujeito usando alegremente o seu suan-pan.
(c. 1868)
FATORAÇÃO
PRELIMINARES
1. Os números podem ser múltiplos ou primos.
2. Múltiplo é o número que, em divisão exata, além dele
próprio e do número 1, admite outros divisores: 8 admite
para divisores, os números 1, 2, 4 e 8; portanto, 8 é
múltiplo de 1, de 2, de 4 e de 8; 9 admite para divisores,
os números 1, 3 e 9; portanto, 9 é múltiplo de 1, de 3 e de
9.
3. Primo é o número que, em divisão exata, só admite para
divisores, ele próprio e o número 1: 2 só pode ser dividido
por 2 e por 1; portanto, 2 é número primo; 17 só pode ser
dividido por 17 e por 1; portanto, 17 é número primo.
4. Números primos entre si, são números que não admitem
divisor comum: 4 e 9, 8 e 15, etc.
5. Fatorar quer dizer "decompor um número múltiplo em
seus fatores primos".
6. Fatores primos de um número, são os números primos
que, multiplicados entre si, produzem o número dado: 2, 3 e
7, são fatores primos de 42, por que 2*3*7=42.
7. Fatoração é um processo de divisões sucessivas por
fatores primos em escala ascendente, prosseguindo com seus
quocientes transformados em novos dividendos, até chegar-se
ao quociente 1, o qual indica o fim da operação.
8. Para facilitar os trabalhos de cálculo na fatoração, é
bom ter memorizados os números primos até 149, que são os
seguintes:
1, 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43,
47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97, 101, 103, 107,
109, 113, 127, 131, 137, 139, 149.
9. Nos cálculos da fatoração, não se trabalha com o fator
primo 1.
10. Escrevemos o número a ser fatorado no lado direito do
sorobã e os fatores primos encontrados, a começar pela
centena da 7ª classe.
11. Durante a fatoração no sorobã, realizamos as divisões
sucessivas, no mesmo lugar em que o número a ser fatorado
está escrito. Por isso, cada quociente ocupa o mesmo lugar
do dividendo anterior.
12. Terminada a fatoração de um número, o quociente 1
estará escrito na unidade da 1ª classe.
13. Podemos fatorar os números separadamente ou (com
finalidade específica), simultaneamente.
14. Na fatoração em separado, o produto dos fatores
primos encontrados é igual ao número fatorado.
15. Na fatoração simultânea, o produto dos fatores primos
encontrados é igual ao mínimo múltiplo comum dos números
fatorados.
16. Para maior segurança na aprendizagem das técnicas de
cálculo da fatoração e desenvolvimento de sua agilidade no
sorobã, repita a execução dos exemplos aqui apresentados,
elabore você próprio e execute outros exercícios deste
cálculo.
Obs.: Nesta edição, empregamos \ (barra invertida) como
sinal de expoente.
PRÁTICA DO CÁLCULO
1º Exemplo. Calcular os fatores primos de 12.
1. Escreva 12 na 1ª classe;
2. O menor primo divisor de 12 é 2; escreva 2 na centena
da 7ª classe;
3. Com a mão direita sobre o 12 e a esquerda sobre o 2,
calcule: 12 dividido por 2, dá 6; escreva 6 no lugar do 12;
o quociente 6 será o próximo dividendo;
4. O menor primo divisor de 6 é 2; escreva 2 na dezena da
7ª classe;
5. Calcule: 6 dividido por 2, dá 3; escreva 3 no lugar do
6 (1ª classe); o quociente 3 será o próximo dividendo;
6. O menor primo divisor de 3 é 3; escreva 3 na unidade
da 7ª classe;
7. Calcule: 3 dividido por 3, dá 1; escreva 1 no lugar do
3 (unidade da 1ª classe). O quociente 1 indica o fim da
fatoração.
Portanto, os fatores primos de 12, escritos na 7ª classe,
são: 2*2*3 ou 2\2*3.
2º Exemplo. Fatorar o número 18.
1. Escreva 18 na 1ª classe;
2. O menor primo divisor de 18 é 2; escreva 2 na centena
da 7ª classe;
3. Calcule: 18 dividido por 2, dá 9; escreva 9 no lugar
do 8 e apague o 1; o quociente 9 será o próximo dividendo;
4. O menor primo divisor de 9 é 3; escreva 3 na dezena da
7ª classe;
5. Calcule: 9 dividido por 3, dá 3; escreva 3 no lugar do
9; o quociente 3 será o próximo dividendo;
6. O menor primo divisor de 3 é 3; escreva 3 na unidade
da 7ª classe;
7. calcule: 3 dividido por 3 dá 1; escreva 1 no lugar do
3 (unidade da 1ª classe).
Portanto, os fatores primos de 18, escritos na 7ª classe,
são: 2*3*3 ou 2*3\2.
3º Exemplo. Fatorar o número 36.
1. Escreva 36 na 1ª classe;
2. O menor primo divisor de 36 é 2; escreva 2 na centena
da 7ª classe;
3. Calcule: 3 dividido por 2, dá 1 e resto 1; escreva 1
no lugar do 3 (dezena da 1ª classe) e memorize o resto 1,
para formar o número 16 com o algarismo das unidades;
4. Calcule: 16 dividido por 2, dá 8; escreva 8 no lugar
do 6 (unidade da 1ª classe); o quociente 18 será o próximo
dividendo;
5. O menor primo divisor de 18 é 2; escreva 2 na dezena
da 7ª classe;
6. Calcule: 18 dividido por 2, dá 9; escreva 9 no lugar
do 8 (unidade) e apague 1 (dezena da 1ª classe); o quociente
9 será o próximo dividendo;
7. O menor primo divisor de 9 é 3; escreva 3 na unidade
da 7ª classe;
8. calcule: 9 dividido por 3, dá 3; escreva 3 no lugar do
9 (unidade da 1ª classe); o quociente 3 será o próximo
dividendo;
8. O menor primo divisor de 3 é 3; escreva 3 na centena
da 6ª classe;
9. calcule: 3 dividido por 3, dá 1; escreva 1 no lugar do
3 (unidade da 1ª classe).
Portanto, os fatores primos de 36, escritos no lado
esquerdo do sorobã, são: 2*2*3*3 ou, 2\2*3\2.
4º Exemplo. Fatorar o número 285.
1. Escreva 285 na 1ª classe;
2. O menor primo divisor de 285 é 3; escreva 3 na centena
da 7ª classe;
3. calcule: 28 dividido por 3, dá 9 e resto 1; escreva 9
no lugar do 8 (dezena da 1ª classe), apague o 2 à esquerda
dele e memorize o resto 1, para formar o número 15 com o
algarismo das unidades; calcule: 15 dividido por 3, dá 5;
escreva 5 no lugar do 5 (já está escrito); 95 será o próximo
dividendo;
4. O menor primo divisor de 95 é 5; escreva 5 na dezena
da 7ª classe;
5. calcule: 9 dividido por 5, dá 1 e resto 4; escreva 1
no lugar do 9 (dezena da 1ª classe) e memorize o resto 4,
para formar o número 45, com o algarismo das unidades;
calcule: 45 dividido por 5, dá 9 e resto 0; escreva 9 no
lugar do 5; o quociente 19 será o próximo dividendo;
6. O menor primo divisor de 19 é 19; escreva 19 na
centena e dezena da 6ª classe;
7. Calcule: 19 dividido por 19, dá 1 e resto 0; escreva 1
no lugar do 19 (unidade da 1ª classe).
Portanto, os fatores primos de 285, escritos na 7ª e 6ª
classes, são: 3*5*19.
Para evitar qualquer confusão, escrevemos no sorobã os
fatores primos formados de mais de um algarismo, com uma
ordem vaga, separando estes dos fatores de um só algarismo.
5º Exemplo. Fatorar simultaneamente os números: 28
e 40.
1. Escreva 28 e 40 na 2ª e na 1ª classes,
respectivamente;
2. O menor primo divisor comum de 28 e 40 é 2; escreva 2
na centena da 7ª classe;
3. Divida 28 por 2 e encontrará 14 na 2ª classe; divida
40 por 2 e encontrará 20 na 1ª classe;
4. O menor primo divisor comum de 14 e 20 é 2; escreva 2
na dezena da 7ª classe;
5. Divida 14 por 2 e encontrará 7 na 2ª classe; divida 20
por 2 e encontrará 10 na 1ª classe;
6. Agora, somente o 10 é divisível por 2; escreva 2 na
unidade da 7ª classe;
7. Divida 10 por 2 e encontrará 5 na 1ª classe;
8. O menor primo divisor de 5 é 5; escreva 5 na centena
da 6ª classe;
9. Divida 5 por 5 e encontrará 1 na 1ª classe;
10. O menor primo divisor de 7 é 7; escreva 7 na dezena
da 6ª classe;
11. Divida 7 por 7 e encontrará 1 na 2ª classe.
Os quocientes 1 e 1, escritos no lado direito do sorobã,
indicam o fim da fatoração simultânea.
Portanto, os fatores primos comuns e não comuns de 28 e
40, escritos no lado esquerdo do sorobã, são: 2*2*2*5*7 ou
2\3*5*7.
6º Exemplo. Fatorar simultaneamente os números:
12, 32 e 75.
1. Escreva 12, 32 e 75, respectivamente na 3ª, 2ª e 1ª
classes;
2. O menor primo divisor comum de 12 e 32 é 2; escreva 2
na centena da 7ª classe;
3. Divida 12 e 32 por 2 e encontrará 6 na 3ª classe e 16
na 2ª;
4. 6 e 16 são divisíveis por 2; escreva 2 na dezena da 7ª
classe;
5. Divida 6 e 16 por 2 e encontrará 3 na 3ª classe e 8 na
2ª;
6. Agora temos os dividendos 3, 8 e 75; somente o 8 é
divisível por 2; escreva 2 na unidade da 7ª classe;
7. Divida 8 por 2 e encontrará 4 na 2ª classe;
8. 4 é divisível por 2; escreva 2 na centena da 6ª
classe;
9. Divida 4 por 2 e encontrará 2 na 2ª classe;
10. 2 é divisível por 2; escreva 2 na dezena da 6ª
classe;
11. Divida 2 por 2 e encontrará 1 na 2ª classe;
12. Agora temos como dividendos 3 na 3ª classe e 75 na
1ª; o menor primo divisor comum de 3 e 75 é 3; escreva 3 na
unidade da 6ª classe;
13. Divida 3 e 75 por 3 e encontrará 1 na 3ª classe e 25
na 1ª;
14. Agora, só temos o dividendo 25; o menor primo divisor
de 25 é 5;
escreva 5 na centena da 5ª classe;
15. Divida 25 por 5 e encontrará 5 na 1ª classe;
16. O menor primo divisor de 5 é 5; escreva 5 na dezena
da 5ª classe;
17. Divida 5 por 5 e encontrará 1 na 1ª classe.
Portanto, os fatores primos comuns e não comuns de 12, 32
e 75, escritos no lado esquerdo do sorobã, são:
2*2*2*2*2*3*5*5 ou 2\5*3*5\2.
MÁXIMO DIVISOR COMUM
PRELIMINARES
1. De duas formas, podemos calcular o máximo divisor
comum de dois ou mais números: pelo processo das divisões
sucessivas e pelo processo da fatoração.
2. O MDC pelas divisões sucessivas, é igual ao divisor da
última divisão, isto é, da divisão exata.
Portanto, nas divisões sucessivas, quando chegarmos a uma
divisão exata, o seu divisor será o MDC dos números
trabalhados.
3. O MDC pela fatoração é igual ao produto dos fatores
primos comuns, elevados aos menores expoentes.
4. Podemos calcular o MDC, fatorando os números
separadamente ou simultaneamente.
5. A fatoração simultânea permite maior rapidez no
cálculo do MDC.
6. A fatoração simultânea para o cálculo do MDC só deve
continuar, enquanto houver fator primo comum a todos os
dividendos.
Quando não mais houver fator primo comum a todos os
dividendos, interrompe-se a fatoração.
O produto dos fatores primos até ali encontrados, será o
MDC dos números fatorados.
7. Para maior segurança na aprendizagem das técnicas de
cálculo do MDC e desenvolvimento de sua agilidade no sorobã,
repita a execução dos exemplos aqui apresentados, elabore
você próprio e execute outros exercícios deste cálculo.
PRÁTICA DO CÁLCULO
1º Exemplo. Calcular o MDC de 32 e 12. Divisões
sucessivas.
1. Escreva 32 na 1ª classe e 12 na 3ª;
2. Divida 32 por 12, assim: 32 dividido por 12, dá 2;
escreva 2 na 2ª classe;
3. Multiplique o quociente 2 pelo divisor 12 e encontrará
24;
subtraia 24 do dividendo 32 e encontrará o resto 8 no
lugar do 32 (1ª classe);
4. Escreva o resto 8 na 5ª classe como próximo divisor;
5. Calcule: 12 dividido por 8, dá 1; escreva 1 na 4ª
classe;
6. Multiplique o quociente 1 pelo divisor 8 e encontrará
8; subtraia 8 do dividendo 12 e encontrará o resto 4 no
lugar do 12 (3ª classe);
7. Escreva o resto 4 na 7ª classe como próximo divisor;
8. Calcule: 8 dividido por 4, dá 2; escreva 2 na 6ª
classe;
9. Multiplique o quociente 2 pelo divisor 4 e encontrará
8; subtraia 8 do dividendo 8 e encontrará o resto 0 no lugar
do 8 (5ª classe).
O resto 0 indica o fim do cálculo.
Portanto, MDC de 32 e 12 = 4 (por ser 4 o divisor da
divisão exata).
2º Exemplo. Calcular o MDC de 40, 16 e 12.
Divisões sucessivas.
1. Escreva 40 na 1ª classe e 16 na 3ª; 2. Seguindo o
exemplo anterior, divida 40 por 16 e encontrará 2 na 2ª
classe e resto 8 no lugar do 40 (1ª classe);
3. Escreva o resto 8 na 5ª classe como próximo divisor;
4. Divida 16 por 8 e encontrará 2 na 4ª classe e resto 0
no lugar do 16 (3ª classe);
Portanto, o MDC dos 2 primeiros números é 8;
5. Apague os números já trabalhados no sorobã, deixando o
8 da 5ª classe;
6. Escreva 12 na 1ª classe (último número a ser
trabalhado) e transfira 8 da 5ª para a 3ª classe como
próximo divisor;
7. Divida 12 por 8 e encontrará 1 na 2ª classe e resto 4
no lugar do 12 (1ª classe);
8. Escreva o resto 4 na 5ª classe como próximo divisor;
9. Divida 8 por 4 e encontrará 2 na 4ª classe e resto 0
no lugar do 8 (3ª classe).
Portanto, MDC de 40, 16 e 12 = 4 (que é o divisor da
última divisão exata).
3º Exemplo. Calcular o MDC de 87, 42 e 18.
Divisões sucessivas.
1. Escreva 87 na 1ª classe e 42 na 3ª;
2. Divida 87 por 42 e encontrará 2 na 2ª classe e resto 3
no lugar do 87 (1ª classe);
3. Escreva o resto 3 na 5ª classe como próximo divisor;
4. Divida 42 por 3 e encontrará 14 na 4ª classe e resto 0
no lugar do 42 ( 3ª classe);
3 é o MDC dos dois primeiros números;
5. Apague os números já trabalhados no sorobã, deixando o
3 da 5ª classe;
6. Escreva 18 na 1ª classe (último número a ser
trabalhado) e transfira 3 da 5ª para a 3ª classe como
próximo divisor;
7. Divida 18 por 3 e encontrará 6 na 2ª classe e resto 0
no lugar do 18 (1ª classe).
Portanto, MDC de 87, 42 e 18 = 3 (que é o divisor da
última divisão exata).
4º Exemplo. Calcular o MDC de 46, 18 e 12.
Divisões sucessivas.
1. Escreva 46 na 1ª classe e 18 na 3ª;
2. Divida 46 por 18 e encontrará o quociente 2 na 2ª
classe e o resto 10 no lugar do 46 (1ª classe);
3. Escreva o resto 10 na 5ª classe como próximo divisor;
4. Divida 18 por 10 e encontrará o quociente 1 na 4ª
classe e o resto 8 no lugar do 18 (3ª classe);
5. Escreva o resto 8 na 7ª classe como próximo divisor;
6. Divida 10 por 8 e encontrará o quociente 1 na 6ª
classe e o resto 2 no lugar do 10 (5ª classe);
7. Apague os números já trabalhados, deixando o 8 da 7ª e
o 2 da 5ª classe;
8. Transfira o 8 da 7ª para a 1ª classe como próximo
dividendo e o 2 da 5ª para a 3ª classe como divisor;
9. Divida 8 por 2 e encontrará o quociente 4 na 2ª classe
e o resto 0 no lugar do 8 (1ª classe);
Portanto, 2 é o MDC dos dois primeiros números;
10. Apague o quociente 4 da 2ª classe, deixando o divisor
2 na 3ª;
11. Escreva 12 (último número a ser trabalhado) na 1ª
classe;
12, Divida 12 por 2 e encontrará o quociente 6 na 2ª
classe e o resto 0 no lugar do 12 (1ª classe).
Portanto, MDC de 46, 18 e 12 = 2 (que é o divisor da
última divisão exata).
5º Exemplo. Calcular o MDC de 12 e 18. Fatoração
em separado.
1. Calcule os fatores primos de 12 e encontrará: 2*2*3 ou
2\2*3;
2. Calcule os fatores primos de 18 e os escreva com uma
ordem vaga, para separá-los dos fatores do número anterior;
encontrará: 2*3*3 ou 2*3\2;
3. Identifique os fatores primos comuns, elevados aos
menores expoentes, e encontrará 2 e 3;
4. Multiplique estes fatores e encontrará 6.
Portanto, MDC de 12 e 18 = 6.
6º Exemplo. Calcular o MDC de 20 e 50. Fatoração
em separado.
1. Fatore o número 20 e encontrará: 2*2*5 ou 2\2*5;
2. Fatore o número 50 e encontrará: 2*5*5 ou 2*5\2;
3. Identifique os fatores primos comuns, elevados aos
menores expoentes, e encontrará 2 e 5;
4. Multiplique 2 por 5 e encontrará 10.
Portanto, MDC de 20 e 50 = 10.
7º Exemplo. Calcular o MDC de 8, 12 e 28.
Fatoração simultânea.
1. Escreva 8, 12 e 28, respectivamente na 3ª, 2ª e 1ª
classes;
2. O menor primo divisor comum de 8, 12 e 28 é 2; escreva
2 na centena da 7ª classe;
3. Divida 8, 12 e 28 por 2, em seus lugares, e encontrará
4, 6 e 14;
4. 4, 6 e 14 são divisíveis por 2; escreva 2 na dezena da
7ª classe;
5. Divida 4, 6 e 14 por 2 e encontrará 2, 3 e 7.
2, 3 e 7 não admitem divisor comum; por isso, para o
cálculo do MDC, está terminada a fatoração simultânea.
Os fatores primos encontrados são: 2 e 2.
6. Multiplique estes fatores e encontrará 4.
Portanto, MDC de 8, 12 e 28 = 4.
8º Exemplo. Calcular o MDC de 18 e 48. Fatoração
simultânea.
1. Escreva 18 na 2ª classe e 48 na 1ª;
2. O menor primo divisor comum de 18 e 48 é 2; escreva 2
na centena da 7ª classe;
3. Divida 18 e 48 por 2, em seus lugares, e encontrará 9
e 24;
4. O menor primo comum divisor de 9 e 24 é 3; escreva 3
na dezena da 7ª classe;
5. Divida 9 e 24 por 3 e encontrará 3 e 8;
3 e 8 não admitem divisor comum; por isso, para o cálculo
do MDC, está terminada a fatoração simultânea;
Os fatores primos encontrados são: 2 e 3;
6. Multiplique estes fatores e encontrará 6.
Portanto, MDC de 18 e 48 = 6.
MÍNIMO MÚLTIPLO COMUM
PRELIMINARES
1. O menor múltiplo comum de dois ou mais números, é o
produto de seus fatores primos comuns e não comuns, elevados
aos maiores expoentes.
2. Podemos calcular o MMC, fatorando os números
separadamente ou simultaneamente.
3. A fatoração simultânea permite maior rapidez no
cálculo do MMC.
4. Ao contrário do que acontece no cálculo do MDC, a
fatoração simultânea para o cálculo do MMC, deve chegar ao
fim, isto é, ao quociente 1, em todas as divisões. O produto
dos fatores primos encontrados, será o MMC dos números
fatorados.
5. Para maior segurança na aprendizagem das técnicas de
cálculo do MMC e desenvolvimento de sua agilidade no sorobã,
repita a execução dos exemplos aqui apresentados, elabore
você próprio e execute outros exercícios deste cálculo.
PRÁTICA DO CÁLCULO
1º Exemplo. Calcular o MMC de 18 e 32. Fatoração
em separado.
1. Fatore o número 18 e encontrará 2*3*3 ou 2*3\2, na 7ª
classe;
2. Fatore o número 32, escrevendo seus fatores, com uma
ordem vaga, para separá-los dos fatores do número anterior;
encontrará 2*2*2*2*2 ou 2\5 (ocupando dezena e unidade da 6ª
classe e toda a 5ª classe);
3. Identifique os fatores primos comuns e não comuns,
elevados aos maiores expoentes, e encontrará: 2\5 e 3\2;
4. Multiplique estes fatores e encontrará 288.
Portanto, MMC de 18 e 32 = 288.
2º Exemplo. Calcular o MMC de 12 e 28. Fatoração
em separado.
1. Fatore o 12 e encontrará 2*2*3 ou 2\2*3;
2. Fatore o número 28 e encontrará: 2*2*7 ou 2\2*7;
3. Identifique os fatores primos comuns e não comuns,
elevados aos maiores expoentes, e encontrará: 2\2, 3 e 7;
4. Multiplique estes fatores e encontrará 84.
Portanto, MMC de 12 e 28 = 84.
3º Exemplo. Calcular o MMC de 12 e 28. Fatoração
simultânea.
1. Escreva 12 na 2ª classe e 28 na 1ª;
2. O menor primo divisor de 12 e de 28 é 2; escreva 2 na
centena da 7ª classe;
3. Divida 12 e 28 por 2, em seus lugares, e encontrará 6
e 14;
4. 6 e 14 são divisíveis por 2; escreva 2 na dezena da 7ª
classe;
5. Divida 6 e 14 por 2 e encontrará 3 e 7;
6. O menor primo divisor de 3 é 3; escreva 3 na unidade
da 7ª classe;
7. Divida 3 por 3 e encontrará 1 na 2ª classe;
8. O menor primo divisor de 7 é 7; escreva 7 na centena
da 6ª classe;
9. Divida 7 por 7 e encontrará 1 na 1ª classe;
Os quocientes 1 e 1, no lado direito do sorobã, indicam o
fim da fatoração simultânea;
Os fatores primos encontrados são, pois, 2*2*3*7 ou
2\2*3*7;
10. Multiplique estes fatores e encontrará 84.
Portanto, MMC de 12 e 28 = 84.
4º Exemplo. Calcular o MMC de 8, 12 e 18.
Fatoração simultânea.
1. Escreva 8, 12 e 18, respectivamente na 3ª, 2ª e 1ª
classes;
2. O menor primo divisor de 8, 12 e 18 é 2; escreva 2 na
centena da 7ª classe;
3. Divida 8, 12 e 18, em seus lugares, e encontrará 4, 6
e 9 na 3ª, 2ª e 1ª classes;
4. 4 e 6 são divisíveis por 2; escreva 2 na dezena da 7ª
classe;
5. Divida 4 e 6 por 2 e encontrará 2 e 3 na 3ª e 2ª
classes;
6. 2 é divisível por 2; escreva 2 na unidade da 7ª
classe;
7. Divida 2 por 2 e encontrará 1 na 3ª classe;
8. O menor primo divisor de 3 e 9 é 3; escreva 3 na
centena da 6ª classe;
9. Divida 3 e 9 por 3 e encontrará 1 na 2ª e 3 na 1ª
classes;
10. 3 é divisível por 3; escreva 3 na dezena da 6ª
classe;
11. Divida 3 por 3 e encontrará 1 na 1ª classe;
Os fatores primos encontrados são: 2*2*2*3*3 ou 2\3*3\2;
12. Multiplique estes fatores e encontrará 72.
Portanto, MMC de 8, 12 e 18 = 72.
NUMERAÇÃO FRACIONÁRIA
Em capítulos anteriores, tratamos das operações com
números inteiros e decimais, Fatoração, MDC e MMC.
A partir do próximo capítulo, trataremos das operações
com frações ordinárias, seguindo depois com as demais
operações citadas no final do capítulo 1.
Numa perspectiva de preparação para essa nova fase,
abordaremos neste capítulo algumas noções e regras que podem
facilitar a aprendizagem e prática das operações com números
fracionários.
PRELIMINARES
1. Podemos dividir o inteiro em qualquer número de partes
iguais e com essas partes realizar diversos cálculos,
conforme a necessidade. É a essas partes iguais que chamamos
frações ordinárias.
2. Para representarmos graficamente uma fração ordinária,
escrevemos dois números separados por uma barra, em que um
deles indica em quantas partes o inteiro foi dividido e o
outro indica quantas dessas partes foram tomadas: 1 pão
dividido para 4 pessoas, cada pessoa deve receber 1/4 (um
quarto) do pão.
O número abaixo da barra, o 4, chamado denominador,
indica que o pão foi dividido em 4 partes iguais, enquanto o
número acima da barra, o 1, chamado numerador, indica que
das 4 partes,uma foi tomada.
Se juntarmos as 4 partes, teremos o equivalente ao
inteiro.
3. Os denominadores dão nome às partes fracionadas
enumeradas pelos numeradores:
2 - denomina meios 3 - denomina terços 4 - denomina
quartos 5 - denomina quintos 6 - denomina sextos 7 -
denomina sétimos 8 - denomina oitavos 9 - denomina nonos 10-
denomina décimos 11- denomina 11 avos 12- denomina 12 avos
(A partir do denominador 11, fala-se o cardinal seguido
da palavra avos).
4. Fração ordinária própria - numerador menor que
denominador: 2/4 (2<4).
5. Fração ordinária imprópria - numerador igual ou maior
que denominador: 5/5, 9/7 (5=5, 9>7).
6. Fração aparente, é a fração imprópria, cujo numerador
é múltiplo do denominador: 5/5, 12/4, etc.
Nas frações aparentes, dividindo-se o numerador pelo
denominador, o quociente será inteiros e o resto 0,
desaparecendo portanto, a fração.
7. Quando o numerador é igual ao denominador, a fração
imprópria aparente equivale a 1: 5/5=1.
8. Quando o numerador é maior que o denominador mas não
múltiplo deste, a fração imprópria equivale a um número
misto: 8/5 = 1 3/5.
9. Frações equivalentes têm o mesmo valor, embora
escritas com números diferentes: 2/3, 4/6 e 14/21, são
equivalentes.
Simplificando as frações equivalentes, elas se tornam
perfeitamente iguais em grafia.
10. Nos trabalhos de cálculo da adição e da subtração de
frações, quando estas não têm o mesmo denominador, devemos
substituí-las por frações equivalentes de denominadores
iguais.
Para fazermos esta substituição, calculamos o MMC dos
denominadores, que será o denominador comum das frações
equivalentes procuradas.
A seguir, dividimos o denominador comum por cada
denominador das frações originais e multiplicamos o
resultado por cada numerador original, para obter o
numerador de cada fração equivalente.
11. Multiplicando-se ou dividindo-se ambos os termos de
uma fração pelo mesmo número, a fração não se altera no seu
valor; obtem-se uma fração equivalente, escrita com outros
números:
4/12 - Se multiplicarmos 4 e 12 por 2, teremos: 8/24; se
dividirmos 4 e 12 por 2, teremos: 2/6.
Portanto, 4/12, 8/24 e 2/6, são frações equivalentes,
isto é, de igual valor.
12. Multiplicando-se o numerador por um número inteiro, o
valor da fração fica multiplicado por esse número.
13. Dividindo-se o numerador por um número inteiro, o
valor da fração fica dividido por esse número.
14. Multiplicando-se o denominador por um número inteiro,
o valor da fração fica dividido por esse número.
15. Dividindo-se o denominador por um número inteiro, o
valor da fração fica multiplicado por esse número.
16. Para dividir um número inteiro por uma fração,
multiplica-se o inteiro pelo denominador e dá-se o produto
para numerador do quociente; o denominador do quociente será
o numerador da fração. Na prática sorobã, isto se faz
escrevendo o inteiro na 7ª classe, a fração divisor em
relação ao ponto 5, com os termos invertidos, e aplicando-se
a técnica da divisão de frações.
17. Quando o denominador de uma fração for o número 1, o
valor da fração é igual ao número inteiro, que constitui o
numerador: 4/1=4 (4 sobre 1 é igual a 4 inteiros).
18. Simplificar uma fração é substituí-la por outra
equivalente, escrita com os menores números possíveis.
Em dois casos, a fração é considerada simplificada:
a) quando os termos são números primos;
b) quando os termos são primos entre si.
19. Podemos simplificar facilmente uma fração no sorobã,
de duas maneiras:
19.1 Pelas divisões sucessivas de ambos os termos por um
mesmo número, até torná-los primos ou primos entre si.
Neste caso, escrevemos a fração original em relação ao
ponto 1 e o divisor na 7ª classe. Durante a operação, a
fração original desaparece, para dar lugar às frações
transitórias resultantes das diversas divisões. Por isso, é
bom registrá-la no papel ou no lado esquerdo de um outro
sorobã, transferindo para lá as frações transitórias, até
chegar à fração simplificada. Não havendo interesse de
registrar as frações transitórias, você poderá, antes de
realizar as divisões, registrar a fração original em relação
ao ponto 5, para não esquecê-la.
19.2 Pelo MDC, isto é, dividindo ambos os termos da
fração original por seu MDC.
20. Número misto = inteiro junto à fração: 4 2/7 (4
inteiros e 2 sétimos).
O número misto sempre corresponde a uma fração imprópria.
21. Para transformar uma fração imprópria em número
misto, isto é, extrair os inteiros, basta dividir o
numerador pelo denominador; o quociente encontrado será os
inteiros e o resto será o numerador da fração própria, que
terá o mesmo denominador.
Quando nesta divisão o resto for igual a 0, a fração
desaparece, ficando apenas os inteiros, porque se trata de
fração aparente.
22. Para transformar um número misto numa fração
imprópria, basta multiplicar os inteiros pelo denominador e
adicionar o produto ao numerador, conservando o mesmo
denominador.
23. Em dois casos, podemos calcular a fração ordinária
equivalente a determinado número decimal:
23.1 Decimal íntegro. Escrevemos o decimal no lado
esquerdo do sorobã e a fração no lado direito, dando para
numerador o número decimal sem o sinal decimal e, para
denominador, o número 1, seguido de tantos zeros quantas
forem as ordens decimais do referido número.
Depois, simplificamos a fração e extraímos os inteiros,
se for o caso.
23.2 Dízima periódica. Escrevemos o decimal no lado
esquerdo do sorobã e a fração no lado direito, dando para
numerador o número decimal com o período uma vez menos a
parte não periódica e, para denominador, tantos noves
quantos forem os algarismos do período, seguidos de tantos
zeros quantas forem as ordens decimais não periódicas.
24. Para calcular o número decimal equivalente a
determinada fração ordinária, escrevemos o numerador na 1ª
classe do sorobã como dividendo e o denominador na 7ª como
divisor. A seguir, aplicamos as técnicas da divisão.
Os Quocientes encontrados e escritos no meio do sorobã,
formarão o número decimal procurado.
Se a fração for própria, o quociente da 1ª divisão será a
1ª ordem decimal.
Se a fração for imprópria, o quociente da 1ª divisão será
inteiros;
os demais quocientes serão as ordens decimais.
Consulte no capítulo 7, os exemplos de divisão para
completar o quociente.
Antes de efetuar as divisões para encontrar o número
decimal procurado, é bom registrar a fração ordinária em
relação ao ponto 5, para não esquecê-la.
25. Para calcular a potência de uma fração, escrevemos a
fração base no lado esquerdo do sorobã e realizamos os
cálculos no lado direito: 1º trabalhamos o denominador na 1ª
classe; 2º trabalhamos o numerador na 2ª classe.
Quando os termos da fração base forem constituídos de
números baixos, você poderá optar pela não aplicação da
técnica de cálculo e já escrever no lado direito do sorobã a
fração potência.
26. Para calcular a raiz de uma fração, escrevemos a
fração radicando no lado direito do sorobã. Trabalhamos
primeiro o numerador, escrevendo sua raiz na 7ª classe. A
seguir, trabalhamos o denominador, escrevendo sua raiz na 6ª
classe. O ponto 6 da régua será a barra da fração raiz.
Quando os termos da fração radicando forem constituídos
de números baixos, você poderá optar pela não aplicação da
técnica de cálculo, escrevendo já no lado esquerdo do sorobã
a fração raiz.
27. Os trabalhos de cálculo com frações, exigem muito
espaço. Por isso, é útil usar dois sorobãs ou, então, o
lápis ou a reglete, para registrar os números durante a
operação, conforme a necessidade.
28. Para maior segurança na aprendizagem das técnicas de
cálculo e treinamento de sua agilidade no sorobã, repita a
execução dos exemplos abaixo, elabore você próprio e execute
outros exercícios semelhantes.
PRÁTICA DO CÁLCULO
1º Exemplo. Simplificar a fração 8/36, pelas
divisões sucessivas.
1. Escreva 8/36 no lado direito do sorobã;
2. registre 8/36 em relação ao ponto 5.
3. 2 é divisor de 8 e de 36; escreva 2 na unidade da 7ª
classe;
4. Divida 8 e 36 por 2, em seus respectivos lugares, e
encontrará 4/18 em relação ao ponto 1;
5. Divida 4 e 18 por 2 e encontrará 2/9 em relação ao
ponto 1.
Portanto, fração simplificada equivalente a 8/36 = 2/9.
2º Exemplo. Simplificar a fração 8/48, pelas
divisões sucessivas.
1. Escreva 8/48 no lado direito do sorobã;
2. Registre 8/48 em relação ao ponto 5;
3. 2 é divisor de 8 e de 48; escreva 2 na unidade da 7ª
classe;
4. Divida 8 e 48 por 2, em seus respectivos lugares, e
encontrará 4/24 em relação ao ponto 1;
5. Divida 4 e 24 por 2 e encontrará 2/12 em relação ao
ponto 1;
6. Divida 2 e 12 por 2 e encontrará 1/6 em relação ao
ponto 1.
Portanto, fração simplificada equivalente a 8/48 = 1/6.
3º Exemplo. Simplificar a fração 16/56, pelo MDC.
1. Calcule o MDC de 16 e 56 e encontrará 8; escreva 8 na
7ª classe;
2. Escreva 16/56 no lado direito do sorobã;
3. Registre 16/56 em relação ao ponto 5;
4. Divida 16 e 56 por seu MDC, 8, e encontrará 2/7 em
relação ao ponto 1.
Portanto, fração simplificada equivalente a 16/56 = 2/7.
4º Exemplo. Transformar 3 2/7 em fração imprópria.
1. Escreva 3 na 3ª classe, 2 na 2ª e 7 na 1ª;
2. Com a mão esquerda sobre o 3 e a direita sobre o 7,
calcule: 7x3=21;
3. Adicione o produto 21 ao numerador 2 e encontrará 23
na 2ª classe; apague o 3 da 3ª classe.
Portanto, a fração 23/7 é a imprópria correspondente ao
misto 3 2/7.
5º Exemplo. Extrair os inteiros da fração 8/3.
1. Escreva 8/3 em relação ao ponto 1 da régua;
2. Calcule: 8 dividido por 3, dá 2; escreva o quociente 2
na 3ª classe, para inteiros;
3. Multiplique os inteiros pelo denominador : 3x2=6;
4. Subtraia o produto encontrado do numerador: 6 para
8=2; escreva 2 no lugar do 8 (2ª classe).
Portanto, 2 2/3 é o misto equivalente à fração imprópria
8/3.
6º Exemplo. Substituir 2/3 e 4/5, por frações
equivalentes, de denominadores iguais.
1. Calcule o MMC de 3 e 5 e encontrará 15; escreva 15 na
1ª classe do sorobã, para denominador comum das frações
equivalentes procuradas;
2. Divida o denominador comum 15 pelo denominador 3 e
encontrará o quociente 5;
3. Multiplique o quociente 5 pelo numerador 2 e
encontrará 10; escreva 10 na 7ª classe, para novo numerador
da 1ª fração;
4. Divida o denominador comum 15 pelo denominador 5 e
encontrará o quociente 3;
5. Multiplique o quociente 3 pelo numerador 4 e
encontrará 12;
escreva 12 na 6ª classe, para novo numerador da 2ª
fração, conservando o denominador comum 15 na 1ª classe,
porque ele está valendo para os dois numeradores.
Portanto, 10/15 e 12/15 são frações de denominadores
iguais, equivalentes às frações 2/3 e 4/5.
7º Exemplo. Calcular o número decimal equivalente
a 3/8.
1. Escreva 3 na 1ª classe como dividendo e 8 na 7ª como
divisor;
2. Registre a fração 3/8 em relação ao ponto 5, para não
esquecê-la;
3. Acrescente 0 ao 3, escrevendo 30 na 1ª classe, para
possibilitar a divisão;
4. Divida 30 por 8 e encontrará 3 e resto 6; transfira o
quociente 3 para a centena da 3ª classe (1ª ordem decimal) e
acrescente 0 ao resto 6, escrevendo 60 na 1ª classe;
5. Divida 60 por 8 e encontrará 7 e resto 4; transfira o
quociente 7 para a dezena da 3ª classe e acrescente 0 ao
resto 4, escrevendo 40 na 1ª classe;
6. Divida 40 por 8 e encontrará 5 e resto 0; transfira o
quociente 5 para a unidade da 3ª classe.
Portanto, 3/8 = 0,375.
8º Exemplo. Calcular a fração ordinária
equivalente a 2,8.
1. Escreva 2,8 em relação ao ponto 6;
2. para numerador, escreva 28 na 2ª classe (o número
decimal sem o sinal decimal);
3. Para denominador, escreva 10 na 1ª classe, isto é, o
número 1 (seguido de um zero, porque o número 2,8 tem uma
ordem decimal); 28/10 é a fração procurada;
4. Simplifique 28/10 e encontrará 14/5;
5. Extraia os inteiros e encontrará 2 4/5.
Portanto, 2,8 = 2 4/5.
9º Exemplo. Calcular a fração ordinária
equivalente a 2,666...
1. Escreva 2,666 em relação ao ponto 6;
2. Para numerador, escreva 26 na 2ª classe, isto é, o
número decimal com o período uma vez;
3. De 26 subtraia 2, isto é a parte não periódica, e
encontrará 24 na 2ª classe; 24 é o numerador;
4. Para denominador, escreva 9 na 1ª classe, porque o
período só tem um algarismo e o número não tem ordens
decimais não periódicas; 24/9 é a fração procurada;
5. Simplifique 24/9 e encontrará 8/3;
6. Extraia os inteiros e encontrará 2 2/3.
Portanto, 2,666... = 2 2/3.
10º Exemplo. Calcular a fração ordinária
equivalente a 2,4333...
1. Escreva 2,4333 em relação ao ponto 6;
2. Para numerador, escreva 243 na 2ª classe, isto é, o
número decimal com o período uma vez;
3. De 243, subtraia 24, isto é, a parte não periódica, e
encontrará 219 na 2ª classe; 219 é o numerador;
4. Para denominador, escreva 90 na 1ª classe (um nove,
porque o período tem um algarismo, e um zero, porque o
número tem uma ordem decimal não periódica); 219/90 é a
fração procurada;
5. Simplifique 219/90 e encontrará 73/30;
6. Extraia os inteiros e encontrará 2 13/30.
Portanto, 2,4333... = 2 13/30.
11º Exemplo. Calcular o quadrado de 3/14.
1. Escreva 3/14 em relação ao ponto 6;
2. Escreva 14 com três ordens vagas no lado direito do
sorobã;
3. Multiplique o denominador 14 por 14 e encontrará 196
na 1ª classe, para denominador da potência;
4. Escreva 3 com duas ordens vagas na 2ª classe;
5. Multiplique o numerador 3 por 3 e encontrará 9 na 2ª
classe, para numerador da potência.
Portanto, quadrado de 3/14=9/196.
12º Exemplo. Calcular o cubo de 2/7.
1. Escreva 2/7 em relação ao ponto 6. 2. Escreva 7 na 5ª
classe e também no lado direito do sorobã, com quatro ordens
vagas, isto é, na dezena da 2ª classe;
3. Multiplique o denominador 7 pelo 7 da 2ª classe e
encontrará 49, com duas ordens vagas na 1ª classe;
4. Multiplique o 7 da 5ª classe pelo 49 e encontrará 343
na 1ª classe; 343 é o denominador da potência;
5. Apague o 7 da 5ª classe;
6. Escreva 2 na 5ª classe e também na dezena da 3ª
classe, isto é, com quatro ordens vagas em relação ao ponto
1;
7. Multiplique o numerador 2 pelo 2 da 3ª classe e
encontrará 4, com duas ordens vagas na 2ª classe;
8. Multiplique o 2 da 5ª classe pelo 4 e encontrará 8 na
2ª classe;
8 é o numerador da potência.
portanto, cubo de 2/7=8/343.
13º Exemplo. Calcular: Raiz quadrada de
49/144=7/12 e resto 0.
1. Escreva 49/144 no lado direito do sorobã;
2. Calcule a raiz quadrada de 49 e encontrará 7 na 7ª
classe e resto 0 na 2ª classe; 7 é o numerador da fração
raiz;
3. Calcule a raiz quadrada de 144 e encontrará 12 na 6ª
classe e 0 na 1ª; 12 é o denominador da fração raiz.
Portanto, raiz quadrada de 49/144=7/12 e resto 0.
ADIÇÃO DE FRAÇÕES
PRELIMINARES
1. Só podemos adicionar frações que tenham o mesmo
denominador.
2. Quando as frações têm denominadores diferentes, elas
devem ser substituídas por frações equivalentes, que tenham
o mesmo denominador.
Consulte capítulo 11, Preliminares nº 10.
3. Escrevemos os numeradores no lado esquerdo do sorobã e
o denominador comum na 1ª classe.
4. Adicionamos os numeradores na 2ª classe.
Terminada a operação, o ponto 1 da régua será a barra de
fração do total.
5. Quando entre as parcelas houver número misto, é bom
transformá-lo em fração imprópria, antes de efetuar a
adição.
6. Para estudar simplificação de frações, transformação
de fração imprópria em número misto e vice-versa,
transformação de frações de denominadores diferentes em
frações equivalentes de denominadores iguais, transformação
de fração ordinária em número decimal e vice-versa, leia o
Capítulo 11.
7. Para maior segurança na aprendizagem das técnicas de
cálculo da adição de frações e desenvolvimento de sua
agilidade no sorobã, repita a execução dos exemplos aqui
apresentados, elabore você próprio e execute outros
exercícios deste cálculo.
PRÁTICA DO CÁLCULO
1º Exemplo. Calcular: 1/9+2/9+4/9=7/9.
1. Escreva as parcelas numeradores 1, 2 e 4
respectivamente, na 7ª, 6ª e 5ª classes e o denominador 9 na
1ª classe;
2. Adicione as parcelas numeradores na 2ª classe e
encontrará 7 (unidade da 2ª classe). Portanto, total = 7/9.
2º Exemplo. Calcular: 1/8+2/8+3/8=6/8=3/4.
1. Escreva os numeradores 1 na 7ª, 2 na 6ª e 3 na 5ª
classes e o denominador 8 na 1ª classe;
2. Adicione os numeradores na 2ª classe e encontrará 6;
6/8 é o total;
3. Simplifique 6/8 e encontrará 3/4.
Portanto, total simplificado = 3/4.
3º Exemplo. Calcular:2/12+3/12+4/12=9/12=3/4.
1. Escreva os numeradores 2, 3 e 4 na 7ª, 6ª e 5ª classes
do sorobã e o denominador 12 na 1ª classe;
2. Adicione os numeradores na 2ª classe e encontrará 9;
9/12 é o total;
3. Simplifique 9/12 e encontrará 3/4.
Portanto, total simplificado = 3/4.
4º Exemplo. Calcular: 2/3+4/5 = 1 7/15.
1. Substitua 2/3 e 4/5 por frações equivalentes de
denominadores iguais e encontrará 10/15 e 12/15; (consulte
Capítulo 11, Preliminares nº 10 e Prática do Cálculo, 6º
Exemplo);
2. Escreva os numeradores 10 e 12 na7ª e 6ª classes e o
denominador comum 15 na 1ª classe;
3. Adicione os numeradores na 2ª classe e encontrará 22;
22/15 é a fração total;
4. Extraia os inteiros e encontrará 1 7/15.
Portanto, total = 1 7/15.
5º Exemplo. Calcular: 1 2/3+4/5 = 2 7/15.
1. Transforme 1 2/3 em fração imprópria e encontrará 5/3;
2. Transforme 5/3 e 4/5 em frações equivalentes de
denominadores iguais e encontrará 25/15 e 12/15;
3. Escreva os numeradores 25 e 12 na 7ª e 6ª classes e o
denominador comum 15 na 1ª classe;
4. Adicione os numeradores na 2ª classe e encontrará 37;
37/15 é a fração total;
5. Extraia os inteiros e encontrará 2 7/15.
Portanto, total = 2 7/15.
SUBTRAÇÃO DE FRAÇÕES
PRELIMINARES
1. Só podemos subtrair frações que tenham denominadores
iguais.
2. Quando os denominadores são diferentes, devemos
substituir as frações por outras equivalentes de
denominadores iguais, como fizemos na adição de frações.
Consulte Capítulo 11, preliminares nº 10 e Prática do
Cálculo 6º Exemplo.
3. Quando houver número misto nos termos da subtração de
frações, transforme-o em fração imprópria.
4.Escrevemos a fração minuendo no lado direito do sorobã
e a fração subtraendo no lado esquerdo.
5. Calculamos o resto, trabalhando apenas os numeradores
na 2ª classe. O denominador do resto será o denominador
comum do minuendo e do subtraendo.
6. Para estudar simplificação de frações, transformação
de fração imprópria em número misto e vice-versa,
transformação de frações de denominadores diferentes em
frações equivalentes de denominadores iguais, transformação
de fração ordinária em número decimal e vice-versa, leia o
Capítulo 11.
7. Para maior segurança na aprendizagem das técnicas de
cálculo da subtração de frações e desenvolvimento de sua
agilidade no sorobã, repita a execução dos exemplos aqui
apresentados, elabore você próprio e execute outros
exercícios deste cálculo.
PRÁTICA DO CÁLCULO
1º Exemplo. Calcular: 7/9-3/9=4/9.
1. Escreva 7/9 em relação ao ponto 1 e 3/9 em relação ao
ponto 6;
2. Falando da esquerda para a direita, calcule: 3 para 7,
4; escreva 4 no lugar do 7 (unidade da 2ª classe).
Portanto, resto = 4/9.
2º Exemplo. Calcular: 5/8-3/8=1/4.
1. Escreva 5/8 em relação ao ponto 1 e 3/8 em relação ao
ponto 6;
2. Calcule: 3 para 5, 2; escreva 2 no lugar do 5 (unidade
da 2ª classe); 2/8 é o resto;
3. Simplifique 2/8 e encontrará 1/4.
Portanto, resto simplificado = 1/4.
3º Exemplo. Calcular: 2 1/4-3/4 = 1 1/2.
1. Transforme 2 1/4 em fração imprópria e encontrará 9/4;
2. Escreva a fração minuendo 9/4 em relação ao ponto 1 e
a fração subtraendo 3/4 em relação ao ponto 6;
3. Calcule: 3 para 9, 6; escreva 6 no lugar do 9 (2ª
classe); 6/4 é o resto;
4. Simplifique 6/4 e encontrará 3/2;
5. Extraia os inteiros e encontrará 1 1/2.
Portanto, resto = 1 1/2.
4º Exemplo. Calcular: 1 2/3-4/5=13/15.
1. Calcule a fração imprópria equivalente ao misto 1 2/3
e encontrará 5/3;
2. Transforme 5/3 e 4/5 em frações equivalentes de
denominadores iguais, e encontrará 25/15 e 12/15;
3. Escreva 25/15 em relação ao ponto 1 e 12/15 em relação
ao ponto 6;
4. Calcule: 12 para 25, 13; escreva 13 no lugar do 25 (2ª
classe).
Portanto, resto = 13/15.
MULTIPLICAÇÃO DE FRAÇÕES
PRELIMINARES
1. Escrevemos as frações multiplicando e multiplicador no
lado esquerdo do sorobã, para que o lado direito fique livre
para a realização dos cálculos.
2. Multiplicamos os denominadores na 1ª classe e damos o
resultado para denominador do produto.
3. Multiplicamos os numeradores na 2ª classe e damos o
resultado para numerador do produto.
4. No sorobã, é conveniente multiplicar primeiro os
denominadores, porque, se seu produto ultrapassar a ordem
das centenas, sem maiores problemas efetuaremos a
multiplicação dos numeradores na 3ª classe.
5. Havendo número misto, o transforme em fração
imprópria, antes de realizar a multiplicação.
6. Para multiplicar uma fração por um número inteiro, e
vice-versa, basta multiplicar o numerador pelo inteiro (e
vice-versa) e dar ao produto o mesmo denominador.
7. Para maior segurança na apredizagem das técnicas de
cálculo da multiplicação de frações e desenvolvimento de sua
agilidade no sorobã, repita a execução dos exemplos aqui
apresentados, elabore você próprio e execute outros
exercícios deste cálculo.
PRÁTICA DO CÁLCULO
1º Exemplo. Calcular: 1/4*2/5=1/10.
1. Escreva o multiplicando 1/4 em relação ao ponto 6 e o
multiplicador 2/5 em relação ao ponto 4;
2. Multiplique os denominadores 4 e 5 na 1ª classe e
encontrará 20;
3. Multiplique os numeradores 1 e 2 na 2ª classe e
encontrará 2;
4. Simplifique 2/20 e encontrará 1/10.
Portanto, produto = 1/10.
2º Exemplo. Calcular: 2/3*4/7=8/21.
1. Escreva o multiplicando 2/3 em relação ao ponto 6 e o
multiplicador 4/7 em relação ao ponto 4;
2. Multiplique os denominadores 3 e 7 na 1ª classe e
encontrará 21;
3. Multiplique os numeradores 2 e 4 na 2ª classe e
encontrará 8.
Portanto, produto = 8/21.
3º Exemplo. Calcular: 3/5*7 = 4 1/5.
1. Escreva o multiplicando 3/5 em relação ao ponto 6 e o
multiplicador 7 na unidade da 5ª classe;
2. Escreva na 1ª classe o denominador 5;
3. Multiplique na 2ª classe o numerador 3 pelo inteiro 7
e encontrará 21; 21/5 é o produto;
4. Extraia os inteiros e encontrará 4 1/5.
Portanto, produto = 4 1/5.
4º Exemplo. Calcular: 2 3/4*5=55/4=13 3/4.
1. Transforme o número misto em fração imprópria e
encontrará 11/4;
2. Escreva o multiplicando 11/4 em relação ao ponto 6 e o
multiplicador 5 na unidade da 5ª classe;
3. Escreva o denominador 4 na 1ª classe;
4. Multiplique na 2ª classe o numerador 11 pelo inteiro 5
e encontrará 55; 55/4 é o produto;
5. Extraia os inteiros e encontrará 13 3/4.
Portanto, produto = 13 3/4.
DIVISÃO DE FRAÇÕES
PRELIMINARES
1. Para efetuar a divisão de frações, invertemos os
termos da fração divisor e praticamos uma multiplicação, em
que a fração dividendo funciona como multiplicando e a
fração divisor funciona como multiplicador.
2. Escrevemos as frações dividendo e divisor no lado
esquerdo do sorobã, tendo já os termos da fração divisor
invertidos.
3. Multiplicamos os denominadores na 1ª classe e os
numeradores na 2ª classe.
Terminada a operação, o produto encontrado, escrito no
lado direito do sorobã, será o quociente procurado.
4. Para dividir uma fração por um número inteiro no
sorobã, proceda assim:
4.1 Escreva a fração em relação ao ponto 6 e o inteiro na
5ª classe;
4.2 Multiplique o denominador pelo inteiro e encontrará o
produto na 1ª classe, para denominador do quociente;
4.3 Copie na 2ª classe o numerador do dividendo, para
numerador do quociente.
5. Para dividir um número inteiro por uma fração, proceda
assim:
5.1 Escreva o inteiro na 7ª classe e a fração, com seus
termos invertidos, em relação ao ponto 5;
5.2 Copie na 1ª classe o denominador da fração divisor;
5.3 Multiplique o inteiro pelo numerador na 2ª classe e
encontrará o numerador do quociente.
6. Se houver número misto entre os termos da divisão,
transforme-o em fração imprópria antes de efetuar a divisão.
7. Para maior segurança na aprendizagem das técnicas de
cálculo da divisão de frações e desenvolvimento de sua
agilidade no sorobã, repita a execução dos exemplos aqui
apresentados, elabore você próprio e execute outros
exercícios deste cálculo.
PRÁTICA DO CÁLCULO
1º Exemplo. Calcular: 3/8 / 7/9=27/56.
1. Escreva o dividendo 3/8 em relação ao ponto 6;
2. Inverta os termos da fração divisor e encontrará 9/7;
escreva 9/7 em relação ao ponto 4;
3. Multiplique os denominadores 8 e 7 e encontrará 56 na
1ª classe;
4. Multiplique os numeradores 3 e 9 e encontrará 27 na 2ª
classe;
27/56 é o quociente procurado.
Portanto, fração quociente = 27/56.
2º Exemplo. Calcular: 2 / 3/4/5=5/6.
1. Escreva o dividendo 2/3 em relação ao ponto 6;
2. Inverta os termos da fração divisor e encontrará 5/4;
escreva 5/4 em relação ao ponto 4;
3. Multiplique os denominadores 3 e 4 e encontrará 12 na
1ª classe;
4. Multiplique os numeradores 2 e 5 e encontrará 10 na 2ª
classe;
10/12 é o quociente procurado;
5. Simplifique 10/12 e encontrará 5/6.
Portanto, quociente = 5/6.
3º Exemplo. Calcular: 1 2/3 / 4/5=2 1/12.
1. Transforme o dividendo em fração imprópria e
encontrará 5/3;
2. Escreva o dividendo 5/3 em relação ao ponto 6;
3. Inverta os termos da fração divisor e encontrará 5/4;
escreva 5/4 em relação ao ponto 4;
4. Multiplique os denominadores 3 e 4 e encontrará 12 na
1ª classe;
5. Multiplique os numeradores 5 e 5 e encontrará 25 na 2ª
classe;
25/12 é o quociente procurado;
6. Extraia os inteiros de 25/12 e encontrará 2 1/12.
Portanto, quociente = 2 1/12.
4º Exemplo. Calcular: 2/5:4=1/10.
1. Escreva o dividendo 2/5 em relação ao ponto 6 e o
divisor 4 na 5ª classe;
2. Multiplique na 1ª classe o denominador 5 pelo inteiro
4 e encontrará 20;
3. Escreva na 2ª classe o numerador do dividendo, isto é,
2, para numerador do quociente; 2/20 é o quociente;
4. Simplifique 2/20 e encontrará 1/10.
Portanto, quociente = 1/10.
5º Exemplo. Calcular: 4 / 5/7=5 3/5.
1. Escreva o inteiro 4 na 7ª classe e a fração 5/7, com
seus termos invertidos, em relação ao ponto 5;
2. Escreva na 1ª classe o denominador 5;
3. Multiplique na 2ª classe, o inteiro 4 pelo numerador 7
e encontrará 28 para numerador do quociente; 28/5 é o
quociente;
4. Extraia os inteiros e encontrará 5 3/5.
Portanto, quociente = 5 3/5.
POTENCIAÇÃO
PRELIMINARES
1. Potência é o produto de fatores iguais.
2. As potências são classificadas de acordo com o número
de fatores que lhes derem origem.
2.1 Quando a potência se origina de 2 fatores, ela se
chama 2ª potência ou quadrado.
2.2 Quando se origina de 3 fatores, a potência é chamada
3ª potência ou cubo.
2.3 Quando se origina de 4 fatores, é chamada 4ª
potência.
2.4 Quando se origina de 5 fatores, é chamada 5ª
potência. E assim por diante.
3. Podemos representar as potências através de dois
números: a base e o expoente: 2\4 (2 elevado a 4 ou 2 à 4ª
potência); 2 é a base e 4 é o expoente.
4. A base é o número que deve funcionar como fator.
5. O expoente é o número que indica quantas vezes a base
deve funcionar como fator.
6. Quando a base é 0, o valor da potência é 0, qualquer
que seja o expoente: 0\0=0; 0\1=0; 0\2=0; 0\5=0, etc.
7. Quando o expoente é 0, o valor da potência é 1,
qualquer que seja a base diferente de 0: 1\0=1; 2\0=1;
5\0=1, etc.
8. Quando a base é 1, o valor da potência é 1, qualquer
que seja o expoente: 1\0=1; 1\1=1; 1\2=1; 1\5=1, etc.
9. Quando o expoente é 1, o valor da potência é igual à
base: 0\1=0; 1\1=1; 2\1=2; 5\1=5, etc.
10. Para representar uma potência no sorobã, podemos
escrevê-la, de sorte que um dos pontos da régua separe a
base do expoente. 2\4 no lado esquerdo, = 2 na unidade da 7ª
e 4 na unidade da 6ªclasse; 3\5 no lado direito, = 3 na
unidade da 2ª e 5 na unidade da 1ª classe.
11. Para calcular potência no sorobã, consideramos os
fatores a serem trabalhados como sendo um deles o
multiplicador e os demais, multiplicandos.
Consulte multiplicação de vários fatores, capítulo 6,
preliminares nº 8 e sub-itens.
12. Escrevemos os fatores multiplicandos no lado esquerdo
e o fator multiplicador no lado direito do sorobã, com
tantas ordens vagas quantos forem os algarismos dos
multiplicandos, mais tantas quantos forem os multiplicandos.
13. No caso de cálculos mais extensos, você poderá
utilizar 2 sorobãs. Num deles, escreverá os fatores
multiplicandos e no outro escreverá o multiplicador, com as
devidas ordens vagas, para a realização dos cálculos.
14. Para maior segurança na aprendizagem das técnicas de
cálculo da potenciação e desenvolvimento de sua agilidade no
sorobã, repita a execução dos exemplos aqui apresentados,
elabore você próprio e execute outros exercícios deste
cálculo.
PRÁTICA DO CÁLCULO
1º Exemplo. Calcular a 4ª potência de 2. 2\4=16.
1. Escreva os multiplicandos 2, 2 e 2, respectivamente na
7ª, 6ª e 5ª classes;
2. Escreva o multiplicador 2 na unidade da 3ª classe,
isto é, com 6 ordens vagas, porque são 3 os algarismos dos
multiplicandos e são 3 os multiplicandos (3+3=6 ordens
vagas);
3. Com a mão esquerda na 7ª classe e a direita na 3ª,
realize a 1ª multiplicação: 2*2=4; apague o 2 da 3ª classe e
escreva 4 na dezena da 2ª classe;
4. Passe a mão esquerda para o 2 da 6ª classe e a mão
direita para o 4 e calcule: 4*2=8; apague o 4 da 2ª classe e
escreva 8 na centena da 1ª;
5. Passe a mão esquerda para o 2 da 5ª classe, a direita
para o 8 e calcule: 8*2=16; apague o 8 e escreva 16 na
dezena e unidade da 1ª classe.
Portanto, 4ª potência de 2 = 16.
2º Exemplo. Calcular o quadrado de 12. 12\2=144.
1. Escreva o multiplicando 12 na 7ª classe;
2. Escreva o multiplicador 12 na 2ª classe, isto é, com 3
ordens vagas, porque são 2 os algarismos do multiplicando e
é 1 o multiplicando (2+1=3 ordens vagas);
3. Realize a multiplicação e encontrará o produto 144,
escrito na 1ª classe.
Portanto, quadrado (ou 2ª potência) de 12 = 144.
3º Exemplo. Calcular o cubo de 4. 4\3=64.
1. Escreva os multiplicandos 4 e 4 na 7ª e na 6ª classes;
2. Escreva o multiplicador 4 na dezena da 2ª classe, isto
é, com 4 ordens vagas, porque são 2 os algarismos dos
multiplicandos e são 2 os multiplicandos (2+2=4 ordens
vagas);
3. Realize a 1ª multiplicação e encontrará o produto 16,
escrito na unidade da 2ª e centena da 1ª classes;
4. Realize a 2ª multiplicação e encontrará o produto 64,
escrito na dezena e unidade da 1ª classe.
Portanto, cubo (ou 3ª potência) de 4 = 64.
4º Exemplo. Calcular o cubo de 14. 14\3=2.744.
1. Escreva os multiplicandos 14 e 14 na 7ª e 6ª classes;
2. Escreva o multiplicador 14 na 3ª classe, isto é, com 6
ordens vagas, porque são 4 os algarismos dos multiplicandos
e são 2 os multiplicandos (4+2=6 ordens vagas);
3. Com a mão esquerda na 7ª e a direita na 3ª classe,
realize a 1ª multiplicação e encontrará o produto 196,
escrito na 2ª classe;
4. Passe a mão esquerda para a 6ª classe, realize a 2ª
multiplicação e encontrará o produto 2.744, ocupando a
unidade da 2ª e toda a 1ª classe.
Portanto, cubo (ou 3ª potência) de 14 = 2.744.
RADICIAÇÃO - 1ª PARTE
NOÇÕES BÁSICAS
Antes de entrarmos neste cálculo, é bom rememorizar
alguns pontos:
1. Radiciação é o cálculo que nos dá a raiz de um número,
isto é a base da maior potência do grau correspondente que
esteja contida nesse número ou seja igual a ele.
A radiciação, pois, é uma forma de operação inversa à
potenciação.
2. Raiz quadrada é o número que produziu o quadrado:
4*4=16; 4 é a raiz quadrada de 16.
3. Raiz cúbica é o número que produziu o cubo ou 3ª
potência:
4*4*4=64; 4 é a raiz cúbica de 64.
4. No cálculo da raiz , nos deparamos com os seguintes
elementos:
4.1 Radicando é o número do qual pretendemos calcular a
raiz: \\16;
16 é o radicando.
4.2 Índice da raiz é o número que indica o grau da raiz:
\\ é o índice de raiz quadrada; \3\ é o índice de raiz
cúbica; \4\ é o índice de raiz quarta, etc.
4.3 Raiz é o fator que produziu o radicando ou a maior
potência daquele grau nele contida.
4.4 Resto ou excesso é o que excede à potência contida no
radicando, isto é, a diferença que vai dessa potência para o
próprio radicando.
Isto acontece, quando o radicando não é potência da raiz.
Quando o radicando é potência da raiz, o resto ou excesso
é = 0.
O resto, portanto, é a diferença que vai do maior
quadrado ou cubo, etc., perfeito contido no radicando, para
o próprio radicando, em se tratando de raiz aproximada a
menos de uma unidade por falta.
Quando a raiz é aproximada por excesso, o resto é a
diferença que vai do radicando para o menor quadrado ou
cubo, etc., perfeito acima desse radicando.
5. Vale observar que usualmente, calculamos a raiz
aproximada a menos de uma unidade por falta.
6. As técnicas apresentadas nos dois próximos capítulos,
nos permitem o cálculo da raiz, sem preocupações de que o
radicando seja ou não potência da raiz.
7. Para calcularmos a raiz, escrevemos o radicando no
lado direito do sorobã; os algarismos da raiz serão escritos
no lado esquerdo, de sorte que sua unidade coincida com a
unidade de classe do sorobã.
9. Durante a operação, o radicando desaparece para dar
lugar ao resto. Por isso, para efeito de prova, é necessário
ter registrado o radicando fora do sorobã em que se estiver
operando.
RADICIAÇÃO - 2ª PARTE
CÁLCULO DA RAIZ QUADRADA - INTEIROS E DECIMAIS -
PRELIMINARES
1. Para calcularmos a raiz quadrada, dividimos o
radicando em classes de 2 algarismos, da direita para a
esquerda, podendo a última classe ter 2 ou 1
algarismo.Quando o radicando for constituído por uma só
classe, esta poderá ter 2 ou 1 algarismo.
2. A raiz quadrada terá tantos algarismos quantas forem
as classes do radicando.
3. Quando, no cálculo da raiz quadrada, o radicando for
um número decimal, é necessário que o número de ordens
decimais seja par, porque: a cada duas ordens decimais do
radicando, corresponde uma ordem decimal da raiz.
4. Quando o número de ordens decimais do radicando for
ímpar, acrescentamos um 0 à direita, para viabilizar a
operação. Lembremo-nos de que, o acréscimo de zeros à
direita das ordens decimais de um número, não altera o valor
desse número.
5. Para calcular a raiz quadrada de números decimais ,
adote o seguinte procedimento:
a) O radicando número decimal, deve ser escrito no sorobã
como se fosse inteiro e assim ser trabalhado durante a
operação.
b) O fato de sabermos antecipadamente o número de
algarismos da raiz, permite que possamos eleger por
antecipação, um ponto da régua para sinal decimal, colocando
à direita dele as ordens decimais da raiz.
6. Terminado o cálculo da raiz quadrada no sorobã, as
ordens decimais da raiz estarão imediatamente à direita do
ponto 6, desde que a parte inteira tenha até três
algarismos.
7. O resto terá o mesmo número de ordens decimais do
radicando, ainda que contenha zeros.
8. Para facilitar os trabalhos de cálculo da raiz
quadrada, é bom ter memorizados, pelo menos, os quadrados de
1 a 9, que são os seguintes:
de 1 = 1 de 2 = 4 de 3 = 9 de 4 = 16 de 5 = 25 de 6 = 36
de 7 = 49 de 8 = 64 de 9 = 81
9. Se você sentir necessidade de rememorizar noções
básicas deste assunto, consulte o Capítulo 17 - Radiciação -
1ª Parte.
10. Para maior segurança na aprendizagem das técnicas de
cálculo da raiz quadrada e desenvolvimento de sua agilidade
no sorobã, repita a execução dos exemplos aqui apresentados,
elabore você próprio e execute outros exercícios deste
cálculo.
Obs.: Nesta edição, empregamos \\ (dupla barra invertida)
como sinal radical.
PRÁTICA DO CÁLCULO
1º Exemplo. Calcular: \\96=9 e resto 15.
1. Escreva o radicando 96 na 1ª classe do sorobã; 96 só
tem uma classe; por isso, a raiz quadrada terá um algarismo
e ocupará a unidade da 7ª classe;
2. Calcule: o maior quadrado contido em 96 é 81, cuja
raiz é 9; escreva 81 no meio do sorobã e 9 na unidade da 7ª
classe;
3. Subtraia o quadrado 81 do radicando 96 e encontrará o
resto 15. Portanto, raiz quadrada de 96 = 9 e resto 15.
2º Exemplo. Calcular:\\321=17 e resto 32.
1. Escreva 321 na 1ª classe do sorobã; 321 tem duas
classes: 21 e 3; por isso, a raiz quadrada terá 2 algarismos
e ocupará dezena e unidade da 7ª classe;
2. Calcule: o maior quadrado contido em 3 é 1, cuja raiz
é 1; escreva o quadrado 1 no meio do sorobã e a raiz 1 na
dezena da 7ª classe;
3. Subtraia o quadrado 1 do radicando 3 e encontrará o
resto 2; escreva 2 no lugar do 3 (centena da 1ª classe);
4. Apague o quadrado 1 do meio do sorobã e escreva o
dobro da raiz, isto é, 2, na unidade da 6ª classe;
5. Ao resto 2 (centena da 1ª classe) acrescente a classe
seguinte do radicando, formando o número 221; despreze
temporariamente o 1 e trabalhe o 22 (centena e dezena da 1ª
classe); calcule: 22 dividido por 2 (6ª classe), dá 11 mas,
11 é muito, 10 é muito, 9 é muito e 8 é muito; escreva 7 na
unidade da 7ª classe (2º algarismo da raiz) e escreva 7
também à direita do dobro do 1º algarismo da raiz, isto é,
na centena da 5ª classe, formando o número 27, com duas
ordens vagas em relação ao ponto 4;
6. Multiplique o 7 (2º algarismo da raiz) pelo 27 e
encontrará o produto 189 na 5ª classe;
7. Subtraia o produto 189 do radicando 221 e encontrará o
resto 32.
Portanto, raiz quadrada de 321 = 17 e resto 32.
3º Exemplo. Calcular: \\876=29 e resto 35.
1. Escreva 876 na 1ª classe do sorobã;
876 tem duas classes: 76 e 8; por isso, a raiz quadrada
terá dois algarismos e ocupará dezena e unidade da 7ª
classe;
2. Calcule: o maior quadrado contido em 8 é 4, cuja raiz
é 2; escreva 4 no meio do sorobã e 2 na dezena da 7ª classe;
3. Subtraia o quadrado 4 do radicando 8 e encontrará o
resto 4 no lugar do 8 (centena da 1ª classe);
4. Apague o quadrado 4 do meio do sorobã e escreva o
dobro da raiz, isto é, 4 na unidade da 6ª classe;
5. Ao resto 4, acrescente a classe seguinte do radicando
(76); despreze temporariamente o 6 e calcule: 47 dividido
por 4 dá 11, mas é muito; 10 também é muito; escreva 9 na
unidade da 7ª classe, para 2º algarismo da raiz, e escreva 9
também à direita do 4 (centena da 5ª classe), formando o
número 49, com duas ordens vagas em relação ao ponto 4;
6. Multiplique o 9 (2º algarismo da raiz) pelo 49 e
encontrará 441 na 5ª classe;
7. Subtraia o 441 do radicando 476 e encontrará o resto
35.
Portanto, raiz quadrada de 876 = 29 e resto 35.
4º Exemplo. Calcular: \\625=25 e resto 0.
1. Escreva 625 na 1ª classe do sorobã;
Este radicando tem duas classes: 25 e 6; por isso, a raiz
quadrada terá 2 algarismos e ocupará dezena e unidade da 7ª
classe;
2. Calcule: o maior quadrado contido em 6 é 4, cuja raiz
é 2;
escreva 4 no meio do sorobã e 2 na dezena da 7ª classe;
3. Subtraia o quadrado 4 do radicando 6 e encontrará o
resto 2;
escreva 2 no lugar do 6;
4. Apague o quadrado 4 do meio do sorobã e escreva o
dobro da raiz, isto é, 4, na unidade da 6ª classe;
5. Ao resto 2, acrescente a classe seguinte do radicando
(25), formando o número 225; despreze temporariamente o 5 e
trabalhe o 22;
calcule: 22 dividido por 4, dá 5; escreva 5 na unidade da
7ª classe, para 2º algarismo da raiz e escreva 5 também à
direita do dobro da raiz, isto é na centena da 5ª classe,
formando o número 45, com duas ordens vagas em relação ao
ponto 4 da régua;
6. Multiplique 5 (2º algarismo da raiz) pelo 45 e
encontrará 225 na 5ª classe;
7. Subtraia o produto 225 do radicando 225 e encontrará o
resto 0.
Portanto, raiz quadrada de 625 = 25 e resto 0.
O resto 0 indica que o radicando é quadrado perfeito.
5º Exemplo. Calcular: \\2.845=53 e resto 36.
1. Escreva o radicando 2.845 no lado direito do sorobã;
2.845 tem duas classe: 45 e 28; por isso, a raiz quadrada
terá dois algarismos e ocupará dezena e unidade da 7ª
classe;
2. Calcule: o maior quadrado contido em 28 é 25 cuja raiz
é 5; escreva 25 no meio do sorobã e 5 na dezena da 7ª
classe;
3. Subtraia 25 de 28 e encontrará o resto 3 (centena da
1ª classe);
4. Apague o quadrado 25 do meio do sorobã e escreva o
dobro da raiz, isto é, 10 na 6ª classe;
5. Acrescente a classe seguinte do radicando ao resto 3,
formando o número 345; despreze temporariamente o 5 e
considere 34 para o cálculo seguinte: 34 dividido por 10, dá
3; escreva 3 na unidade da 7ª classe, para 2º algarismo da
raiz e escreva 3 também à direita do 10 (centena da 5ª
classe), formando o número 103 com duas ordens vagas em
relação ao ponto 4;
6. Multiplique o 3 (2º algarismo da raiz) pelo 103 e
encontrará o produto 309 na 5ª classe;
7. Subtraia o produto 309 do radicando 345, e encontrará
o resto 36.
Portanto, raiz quadrada de 2.845=53 e resto 36.
6º Exemplo. Calcular: \\234.567=484 e resto 311.
1. Escreva 234.567 no lado direito do sorobã;
Este radicando tem 3 classes: 67, 45 e 23;por isso, a
raiz quadrada terá três algarismos e ocupará toda a 7ª
classe;
2. Calcule: o maior quadrado contido em 23 é 16, cuja
raiz é 4;
escreva 16 no meio do sorobã e 4 na centena da 7ª classe;
3. Subtraia o quadrado 16 do radicando 23 e encontrará o
resto 7 no lugar do 23;
4. Apague o quadrado 16 do meio do sorobã e escreva o
dobro da raiz, isto é, 8 na 6ª classe;
5. Ao resto 7, acrescente a classe seguinte do radicando
(45), formando o número 745; despreze temporariamente o 5 e
trabalhe o 74; calcule: 74 dividido por 8, dá 8, porque 9 é
muito; escreva 8 na dezena da 7ª classe, para 2º algarismo
da raiz, e 8 também à direita do dobro da raiz (centena da
5ª classe), formando o número 88, com duas ordens vagas em
relação ao ponto 4 da régua;
6. Multiplique 8 (2º algarismo da raiz) pelo 88 e
encontrará 704 na 5ª classe;
7. Subtraia o produto 704 do radicando 745 e encontrará o
resto 41;
8. Apague o 704 da 5ª classe e escreva o dobro da raiz,
isto é, 96 na 6ª classe;
9. Ao resto 41, acrescente a classe seguinte do radicando
(67), formando o número 4.167; despreze temporariamente o 7
e calcule: 416 dividido por 96, dá 4; escreva 4 na unidade
da 7ª classe (3º algarismo da raiz) e escreva 4 também à
direita do 96, formando o número 964, com duas ordens vagas
na 5¦ classe;
10. Multiplique o 4 (último algarismo da raiz) pelo 964 e
encontrará o produto 3.856(6ª e 5ª classes);
11. Subtraia o produto 3.856 do radicando 4.167 e
encontrará o resto 311.
Portanto, raiz quadrada de 234.567=484 e resto 311.
7º Exemplo. Calcular: \\6,25=2,5 e resto 0.
1. Escreva 6,25 na 1ª classe do sorobã, como se fosse
número inteiro;
6,25 tem duas classes: ,25 e 6; por isso, a raiz quadrada
terá dois algarismos;
O radicando tem duas ordens decimais; por isso, a raiz
quadrada terá uma ordem decimal; o ponto 6 da régua será o
sinal decimal da raiz;
2. Calcule: o maior quadrado contido em 6 é 4, cuja raiz
é 2;
escreva 4 no meio do sorobã e 2 na unidade da 7ª classe;
3. Subtraia o quadrado 4 do radicando 6 e encontrará o
resto 2 no lugar do 6;
4. Apague o quadrado 4 do meio do sorobã e escreva o
dobro da raiz, isto é, 4, na unidade da 5ª classe;
5. Ao resto 2, acrescente a classe seguinte do radicando
(25), formando o número 225; despreze temporariamente o 5 e
calcule: 22 dividido por 4, dá 5; escreva 5 na centena da 6ª
classe, para 2º algarismo da raiz, e escreva 5 também à
direita do 4 (centena da 4¦ classe), formando o número 45,
com duas ordens vagas em relação ao ponto 3;
6. Multiplique 5 (2º algarismo da raiz) pelo 45 e
encontrará 225 na 4ª classe;
7. Subtraia o produto 225 do radicando 225 e encontrará o
resto 0.
Portanto, raiz quadrada de 6,25=2,5 e resto 0.
8º Exemplo. Calcular: \\45,25=6,7 e resto 0,36.
1. Escreva 45,25 no lado direito do sorobã, como se fosse
número inteiro;
45,25 tem duas classes: ,25 e 45; por isso, a raiz
quadrada terá dois algarismos;
45,25 tem duas ordens decimais; por isso, a raiz quadrada
terá uma ordem decimal; o ponto 6 da régua será o sinal
decimal da raiz;
2. Calcule: o maior quadrado contido em 45 é 36, cuja
raiz é 6;
escreva 36 no meio do sorobã e 6 na unidade da 7ª classe;
3. Subtraia o quadrado 36 do radicando 45 e encontrará o
resto 9 (centena da 1ª classe);
4. Apague o quadrado 36 do meio do sorobã e escreva o
dobro da raiz, isto é, 12, na 5ª classe;
5. Ao resto 9, Acrescente a classe seguinte do radicando
(25), formando o número 925; despreze temporariamente o 5 e
calcule: 92 dividido por 12, dá 7; escreva 7 na centena da
6ª classe, para 2º algarismo da raiz, e escreva 7 também na
centena da 4ª classe, formando o número 127, com duas ordens
vagas na 4¦ classe;
6. Multiplique o 7 (2º algarismo da raiz) pelo 127 e
encontrará 889 na 4ª classe;
7. Subtraia o produto 889 do radicando 925 e encontrará o
resto 36.
Portanto, raiz quadrada de 45,25=6,7 e resto 0,36.
PROVA REAL DA RAIZ QUADRADA
Eleve a raiz ao quadrado e adicione ao resto.
Se o resultado for igual ao radicando, a radiciação
estará certa.
RADICIAÇÃO - 3ª PARTE
CÁLCULO DA RAIZ CÚBICA - INTEIROS E DECIMAIS -
Preliminares
1. Para o cálculo da raiz cúbica, o radicando será
dividido em classes de 3 algarismos, da direita para a
esquerda, podendo a última classe ter 3, 2 ou 1 algarismo.
Quando o radicando for constituído por uma só classe,
esta poderá ter 3, 2 ou apenas 1 algarismo.
2. A raiz cúbica terá tantos algarismos quantas forem as
classes do radicando.
3. Ao escrever o radicando, fazemo-lo de sorte que sua
unidade coincida com a unidade da 1ª classe do sorobã;
assim, os pontos da régua estarão dividindo o radicando em
classes de 3 algarismos.
Seja o radicando: \3\8.765.432; escrito no sorobã, terá
sua 1ª classe, 432, ocupando a 1ª classe do sorobã; sua 2ª
classe, 765, ocupando a 2ª classe do sorobã; sua 3ª classe,
8, ocupando a unidade da 3ª classe do sorobã.
4. No cálculo da raiz cúbica, a cada três ordens decimais
do radicando, corresponde uma ordem decimal da raiz. Por
isso, o número de ordens decimais do radicando terá de ser
divisível por 3. Quando isto não acontecer, é indispensável
completar o número de ordens decimais do radicando, com
zeros à direita.
Lembremo-nos de que, o acréscimo de zeros à direita das
ordens decimais de um número, não altera o valor desse
número.
5. Terminado o cálculo da raiz cúbica no sorobã, as
ordens decimais da raiz estarão imediatamente à direita do
ponto 6 da régua, desde que a parte inteira tenha até 3
algarismos.
6. O resto terá o mesmo número de ordens decimais do
radicando, ainda que contenha zeros.
7. Para facilitar os trabalhos de cálculo da raiz cúbica,
é bom memorizar, pelo menos, os cubos de 1 a 9, que são os
seguintes:
de 1 = 1 de 2 = 8 de 3 = 27 de 4 = 64 de 5 = 125 de 6 =
216 de 7 = 343 de 8 = 512 de 9 = 729
8. Se você sentir necessidade de rememorizar noções
básicas deste assunto, consulte o Capítulo 17 - Radiciação -
1ª Parte.
9. Para maior segurança na aprendizagem das técnicas de
cálculo da raiz cúbica e treinamento de sua agilidade no
sorobã, repita a execução dos exemplos aqui apresentados,
elabore e execute outros exercícios do mesmo cálculo.
Obs.: Nesta edição, empregamos \\ (dupla barra invertida)
como sinal radical.
PRÁTICA DO CÁLCULO
1º Exemplo. Calcular: \3\35=3 e resto 8.
1. Escreva o radicando 35 na 1ª classe;
Este radicando tem uma classe; por isso, a raiz cúbica
terá uma ordem e ocupará a unidade da 7ª classe;
2. O maior cubo contido em 35 é 27, cuja raiz é 3;
escreva 27 no meio do sorobã e 3 na unidade da 7ª classe;
3. Subtraia o cubo 27 do radicando 35 e encontrará o
resto 8.
Portanto, raiz cúbica de 35 = 3 e resto 8.
2º Exemplo. Calcular: \3\234=6 e resto 18.
1. Escreva o radicando 234 na 1ª classe;
Este radicando tem uma classe; por isso, a raiz cúbica
terá uma ordem e ocupará a unidade da 7ª classe;
2. O maior cubo contido em 234 é 216, cuja raiz é 6;
escreva 216 no meio do sorobã e 6 na unidade da 7ª classe;
3. Subtraia o cubo 216 do radicando 234 e encontrará o
resto 18.
Portanto, raiz cúbica de 234 = 6 e resto 18.
3º Exemplo. Calcular: \3\876=9 e resto 147.
1. Escreva o radicando 876 na 1ª classe;
Este radicando tem uma classe; por isso, a raiz cúbica
terá uma ordem e ocupará a unidade da 7ª classe;
2. O maior cubo contido em 876 é 729, cuja raiz é 9;
escreva 729 no meio do sorobã e 9 na unidade da 7ª classe;
3. Subtraia o cubo 729 do radicando 876 e encontrará o
resto 147.
Portanto, raiz cúbica de 876=9 e resto 147.
4º Exemplo. Calcular: \3\1.678=11 e resto 347.
1. Escreva o radicando 1.678 no lado direito do sorobã;
Este radicando tem duas classes: 678 e 1; por isso, a
raiz cúbica terá duas ordens e ocupará dezena e unidade da
7ª classe;
2. Comece o cálculo pela última classe do radicando, isto
é, 1; o maior cubo contido em 1 é 1, cuja raiz é 1; escreva
o cubo 1 no meio do sorobã e a raiz 1 na dezena da 7ª
classe;
3. Subtraia o cubo 1 do radicando 1 e encontrará o resto
0 (unidade da 2ª classe);
4. Apague o cubo 1 do meio do sorobã;
5. Calcule o triplo do quadrado do primeiro algarismo da
raiz e encontrará 3; escreva 3 com 4 ordens vagas em relação
ao ponto 4, isto é, na dezena da 6ª classe;
6. Considere a classe seguinte do radicando, isto é, 678;
despreze temporariamente os dois algarismos da direita (78)
e calcule: 6 (centena da 1ª classe) dividido por 3 (dezena
da 6ª), dá 2, mas 2 é muito; escreva 1 na unidade da 7ª
classe, para 2º algarismo da raiz;
7. Calcule o triplo do primeiro algarismo da raiz
multiplicado pelo segundo e encontrará 3;
8. Adicione o produto 3 à 6ª classe: 3+30=33, ficando 3
ordens vagas em relação ao ponto 4;
9. Calcule o quadrado do segundo algarismo da raiz e
encontrará 1; escreva 1 na centena da 5ª classe, formando o
número 331, com duas ordens vagas em relação ao ponto 4;
10. Multiplique o 2º algarismo da raiz pelo 331 e
encontrará 331 na 5ª classe;
11. Subtraia o produto 331 do radicando 678 e encontrará
o resto 347.
Portanto, raiz cúbica de 1.678 = 11 e resto 347.
5º Exemplo. Calcular: \3\23.456=28 e resto 1.504.
1. Escreva o radicando 23.456 no lado direito do sorobã;
Este radicando tem duas classes: 456 e 23; por isso, a
raiz cúbica terá dois algarismos e ocupará dezena e unidade
da 7ª classe;
2. Calcule: o maior cubo contido em 23 é 8, cuja raiz é
2; escreva 8 no meio do sorobã e 2 na dezena da 7ª classe;
3. Subtraia o cubo 8 do radicando 23 e encontrará o resto
15 no lugar de 23 (dezena e unidade da 2ª classe);
4. Apague o cubo 8 do meio do sorobã;
5. Calcule o triplo do quadrado do primeiro algarismo da
raiz e encontrará 12; escreva 12 com 4 ordens vagas em
relação ao ponto 4, isto é, 12 na centena e dezena da 6ª
classe;
6. Considere a classe seguinte do radicando, 456,
despreze temporariamente os dois algarismos da direita e
trabalhe o 154 (dezena e unidade da 2ª e centena da 1ª
classe);
7. Calcule: 154 dividido por 12, dá 9, mas 9 é muito;
escreva 8 na unidade da 7ª classe, para 2º algarismo da
raiz;
8. Calcule o triplo do primeiro algarismo da raiz
multiplicado pelo segundo e encontrará 48; adicione 48 à 6ª
classe: 48+120=168, ocupando a 6ª classe e ficando 3 ordens
vagas em relação ao ponto 4;
9. Calcule o quadrado do segundo algarismo da raiz e
encontrará 64; adicione 64, de modo que sua unidade coincida
com a centena da 5ª classe: 64+1.680=1.744, ficando duas
ordens vagas em relação ao ponto 4;
10. Multiplique o segundo algarismo da raiz, 8, pelo
1.744 e encontrará 13.952 na 6¦ e 5¦ classes;
11. Subtraia o produto 13.952 do radicando 15.456 e
encontrará o resto 1.504.
Portanto, raiz cúbica de 23.456 = 28 e resto 1.504.
6º Exemplo. Calcular: \3\1.860.867=123 e resto 0.
1. Escreva 1.860.867 no lado direito do sorobã;
Este radicando tem 3 classes: 867, 860 e 1; por isso, a
raiz cúbica terá 3 ordens e ocupará toda a 7ª classe;
2. O maior cubo contido em 1 é 1, cuja raiz é 1; escreva
o cubo 1 no meio do sorobã e a raiz 1 na centena da 7ª
classe;
3. Subtraia o cubo 1 do radicando 1 e encontrará o resto
0 (unidade da 3ª classe);
4. Apague o cubo 1 do meio do sorobã;
5. Calcule o triplo do quadrado do primeiro algarismo da
raiz e encontrará 3; escreva 3 com 4 ordens vagas em relação
ao ponto 4, isto é, na dezena da 6ª classe;
6. Considere a classe seguinte do radicando, o 860,
despreze temporariamente os dois algarismos da direita e
trabalhe apenas o 8 (centena da 2ª classe); calcule: 8
dividido por 3 (6ª classe), dá 2;
escreva 2 na dezena da 7ª classe, para segundo algarismo
da raiz;
7. Calcule o triplo do primeiro algarismo da raiz
multiplicado pelo segundo e encontrará 6; adicione 6 à
unidade da 6ª classe, formando o número 36, com 3 ordens
vagas em relação ao ponto 4;
8. Calcule o quadrado do segundo algarismo da raiz e
encontrará 4;
adicione 4 à centena da 5ª classe, formando o número 364,
com duas ordens vagas em relação ao ponto 4;
9. Multiplique o segundo algarismo da raiz pelo 364 e
encontrará 728 na 5ª classe;
10. Subtraia o produto 728 do radicando 860 e encontrará
o resto 132 na 2ª classe;
11. Apague o produto 728 do meio do sorobã;
12. Calcule no meio do sorobã o triplo do quadrado de 12
(número formado pelos dois primeiros algarismos da raiz) e
encontrará 432; escreva 432 com 4 ordens vagas em relação ao
ponto 3;
13. Considere a última classe do radicando, o 867,
despreze temporariamente os dois algarismos da direita e
trabalhe o 1.328: divida 1.328 por 432 e encontrará 3;
escreva 3 na unidade da 7ª classe (3º algarismo da raiz);
14. Calcule o triplo do número 12 (primeiros algarismos
da raiz) multiplicado por 3 (último algarismo da raiz) e
encontrará 108; adicione 108 à 5ª classe e chegará ao número
4.428, com as 3 ordens vagas da 4ª classe;
15. Calcule o quadrado do último algarismo da raiz e
encontrará 9; adicione 9 à centena da 4ª classe, chegando ao
número 44.289, com duas ordens vagas na 4ª classe;
16. Multiplique o 3 (último algarismo da raiz) pelo
44.289 e encontrará 132.867, ocupando a 5ª e a 4ª classes;
17. Subtraia o produto 132.867 do radicando 132.867 e
encontrará o resto 0. Portanto, raiz cúbica de 1.860.867=123
e resto 0.
7º Exemplo. Calcular: \3\46,25=3,5 e resto 3,375.
1. Considerando que o radicando tem duas ordens decimais
(,25), acrescente 0, escrevendo 46,250 no lado direito do
sorobã;
Este radicando tem duas classes: ,250 e 46; por isso, a
raiz cúbica terá dois algarismos; e porque o mesmo tem três
ordens decimais, a raiz cúbica terá uma ordem decimal; o
ponto 6 da régua será o sinal decimal da raiz;
2. O maior cubo contido em 46 é 27, cuja raiz é 3;
escreva 27 no meio do sorobã e 3 na unidade da 7ª classe;
3. Subtraia o cubo 27 do radicando 46 e encontrará o
resto 19;
4. Apague o cubo 27 do meio do sorobã;
5. Calcule o triplo do quadrado do 1º algarismo da raiz e
encontrará 27; escreva 27 com 4 ordens vagas em relação ao
ponto 3, isto é, centena e dezena da 5ª classe;
6. Acrescente ao resto 19 a classe seguinte do radicando,
o 250, despreze temporariamente os dois algarismos da
direita e trabalhe o 192; calcule: 192 dividido por 27 dá 7,
mas é muito; 6 também é muito; escreva 5 na centena da 6ª
classe, para 2º algarismo da raiz;
7. Calcule o triplo do 1º algarismo da raiz vezes o 2º e
encontrará 45; adicione 45 à 5ª classe e encontrará 315, com
três ordens vagas na 4ª classe;
8. Calcule o quadrado do 2º algarismo da raiz e
encontrará 25;
adicione 25, de modo que sua unidade coincida com a
centena da 4ª classe e encontrará 3.175, com duas ordens
vagas na 4ª classe;
9. Multiplique o 2º algarismo da raiz pelo 3.175 e
encontrará 15.875 na 5ª e 4ª classes;
10. Subtraia o produto 15.875 do radicando 19.250 e
encontrará o resto 3.375. O ponto 6 da régua representa o
sinal decimal da raiz e o ponto 1, o sinal decimal do resto.
Portanto, raiz cúbica de 46,25 = 3,5 e resto 3,375.
PROVA REAL DA RAIZ CÚBICA
Eleve a raiz ao cubo e adicione ao resto.
Se o resultado for igual ao radicando, a radiciação
estará certa.
RAZÕES E PROPORÇÕES
PRELIMINARES
1. Razão é um quociente indicado: 2:6 (2 está para 6) =
2/6 (dois sextos); 6:2 (6 está para 2) = 6/2 (seis meios),
etc.
2. Os termos de uma razão são chamados: antecedente, o 1º
termo; conseqüente, o 2º termo.
Na razão 2:6, 2 é o antecedente e 6 o conseqüente.
3. Razões equivalentes são razões de igual valor,
escritas com números diferentes.
4. Multiplicando-se ou dividindo-se ambos os termos de
uma razão pelo mesmo número, o valor da razão não se altera.
Por isso, no cálculo das proporções, podemos simplificar as
razões de termos conhecidos, para trabalhar com números mais
baixos.
5. Para simplificar uma razão, procedemos como em frações
ordinárias, isto é, dividimos ambos os termos da razão por
um mesmo número.
6. Para escrever uma razão no sorobã, fazemo-lo, de sorte
que o antecedente ocupe uma classe e o conseqüente ocupe a
classe imediatamente à direita: 2:8, no lado esquerdo do
sorobã, se escreve: 2 na unidade da 7ª classe e 8 na unidade
da 6ª.
7. Proporção é a relação estabelecida pela equivalência
entre duas razões.
2:8 e 6:24 são razões equivalentes e, por isso, podem
estabelecer a seguinte proporção: 2:8::6:24 (2 está para 8
assim como 6 está para 24) ou: 2/8=6/24 (dois oitavos igual
a seis vinte e quatro avos).
8. Para verificarmos a equivalência das razões, e
sabermos, portanto, se elas podem estabelecer proporção,
basta dividir os antecedentes por seus respectivos
conseqüentes ou vice-versa; se os quocientes encontrados
forem iguais, as razões serão equivalentes.
9. Numa proporção, é importante distinguir os termos:
extremos e meios.
Os extremos são o antecedente da 1ª razão e o conseqüente
da 2ª.
Os meios são o conseqüente da 1ª e o antecedente da 2ª
razão.
10. O produto dos extremos é igual ao produto dos meios.
11. Quando a proporção apresenta uma incógnita, podemos
calcular o valor da incógnita, trabalhando os termos
conhecidos.
12. Quando a incógnita for um extremo, multiplicamos os
meios e dividimos o produto pelo extremo conhecido; o
quociente será o valor da incógnita, isto é, o extremo
desconhecido.
13. Quando a incógnita for um meio, multiplicamos os
extremos e dividimos o produto pelo meio conhecido; o
quociente será o valor da incógnita, isto é, o meio
desconhecido.
14. Para escrever uma proporção no sorobã, coloque a 1ª
razão na 7ª e 6ª classes e a 2ª razão na 5ª e 4ª classes;
desse modo, o ponto 6 da régua representa o sinal de razão,
o ponto 5 o sinal de proporção e o ponto 4 o sinal de razão.
15. No sorobã, a incógnita será representada por uma
classe vaga. Assim, por exemplo, para escrever no sorobã
10:x::4:6, escrevemos 10 na 7ª classe, 4 na unidade da 5ª e
6 na unidade da 4ª, deixando vaga a 6ª classe, para
representar o x.
16. Para maior segurança na aprendizagem das técnicas de
cálculo das razões e proporções e desenvolvimento de sua
agilidade no sorobã, repita a execução dos exemplos aqui
apresentados, elabore você próprio e execute outros
exercícios deste cálculo.
PRÁTICA DO CÁLCULO
1º Exemplo. Calcular: 7:9::35:x. x=...
1. Escreva 7 na 7ª classe, 9 na 6ª, 35 na 5ª, deixando a
4ª classe vaga, para representar o x;
2. Considerando que a incógnita x é um extremo,
multiplique os meios 9 e 35 e encontrará o produto 315 na 1ª
classe;
3. Divida o produto 315 pelo extremo conhecido 7 e
encontrará o quociente 45, que será o valor da incógnita;
escreva 45 na 4ª classe, para substituir o x.
Portanto, x=45.
2º Exemplo. Calcular: 2:6::10:x. x=...
1. Escreva 2 na 7ª classe, 6 na 6ª e 10 na 5ª, deixando
vaga a 4ª classe, para representar o x;
2. Considerando que a incógnita x é um dos extremos,
multiplique os meios 6 e 10 e encontrará o produto 60 na 1ª
classe;
3. Divida o produto 60 pelo extremo conhecido 2 e
encontrará o quociente 30, que é o extremo desconhecido,
isto é o valor da incógnita; escreva 30 na 4ª classe, para
substituir o x. Portanto, x=30.
3º Exemplo. Calcular: 8:72::x:18. x=...
1. Escreva 8 na 7ª classe, 72 na 6ª, deixe a 5ª classe
vaga, para representar o x e escreva 18 na 4ª classe;
2. Para calcular com números mais baixos, vamos
simplificar a 1ª razão, porque seus termos admitem divisor
comum; o mdc de 8 e 72 é 8;
divida por 8 ambos os termos da razão, nos seus
respectivos lugares:
8 dividido por 8 = 1; escreva 1 no lugar do 8 (unidade da
7ª classe);
72 dividido por 8 = 9; escreva 9 no lugar do 72 (6ª
classe);
Agora temos no sorobã a proporção equivalente: 1:9::x:18;
3. Considerando que a incógnita x é um meio, multiplique
os extremos 1 e 18 e encontrará o produto 18 na 1ª classe;
4. Divida o produto 18 pelo meio conhecido 9 e encontrará
o quociente 2, que é o meio desconhecido ou seja, o valor da
incógnita;
escreva 2 na 5ª classe, para substituir o x.
Portanto, x=2.
4º Exemplo. Calcular: 2,5:4::7:x. x=...
1. Escreva 2,5 em relação ao ponto 6, 4 na 5ª classe, 7
na 4ª classe, deixando a 3ª classe vaga, para representar o
x;
2. Considerando que a incógnita é um extremo, multiplique
os meios 4 e 7 e encontrará o produto 28 na 1ª classe;
3. Divida o produto 28 pelo extremo conhecido 2,5 e
encontrará o extremo desconhecido 11,2, que é o valor da
incógnita; escreva 11,2 em relação ao ponto 2 para
substituir o x.
Portanto, x=11,2.
5º Exemplo. Calcular: 5:x::1/2:4. x=...
1. Escreva 5 na 7ª classe, 1/2 em relação ao ponto 4 (5ª
e 4ª classes), 4 na 3ª classe, deixando a 6ª classe vaga,
para representar o x;
2. Considerando que a incógnita é um meio, multiplique os
extremos 5 e 4 e encontrará o produto 20 na 1ª classe;
3. Divida o produto 20 pelo meio conhecido 1/2 e
encontrará 40, que é o valor da incógnita; escreva 40 na 6ª
classe, para substituir o x.
Portanto, x=40.
PROVA REAL DO CÁLCULO DAS PROPORÇÕES
1. Multiplique os extremos.
2. Multiplique os meios.
Se ambos os produtos forem iguais, o cálculo da proporção
estará certo.
REGRA DE TRÊS
PRELIMINARES
1. A regra de três pode ser simples ou composta.
Simples, quando contém duas grandezas proporcionais.
Composta, quando contém mais de duas grandezas
proporcionais.
2. As grandezas podem ser diretamente ou inversamente
proporcionais.
Uma grandeza é diretamente proporcional a outra, quando
aumentando uma, a outra também aumenta na mesma razão da
primeira, e diminuindo uma, a outra também diminui na mesma
razão da primeira.
Uma grandeza é inversamente proporcional a outra, quando
aumentando uma, a outra diminui na mesma razão da primeira,
e vice-versa.
3. A regra de três pode ser direta ou inversa.
Direta, quando suas grandezas são diretamente
proporcionais.
Inversa, quando suas grandezas são inversamente
proporcionais.
4. Solucionamos os problemas da regra de três, pelos
cálculos das proporções: extraímos do enunciado do problema
as razões, para com elas estabelecer a proporção a ser
trabalhada.
5. Quando a regra de três for direta, efetuaremos os
cálculos da proporção sem alterar a posição de seus termos.
6. Quando a regra de três for inversa, devemos inverter
os termos de uma das razões, antes de realizarmos os
cálculos da proporção.
7. Se a proporção resultar de uma regra de três composta,
antes de efetuarmos os seus cálculos para a determinação do
valor da incógnita, devemos transformar as razões de termos
conhecidos em uma única razão, cujo antecedente é o produto
de seus antecedentes e cujo conseqüente é o produto de seus
conseqüentes.
Essa nova razão formará com a razão da incógnita, a
proporção de duas razões, cujo valor da incógnita será a
resposta do problema.
8. Para maior segurança na aprendizagem dos cálculos da
Regra de Três, repita a execução dos exemplos aqui
apresentados, elabore e execute outros exercícios deste
cálculo.
PRÁTICA DO CÁLCULO
1º Exemplo. Um agricultor plantou 10 kg de feijão
e colheu uma tonelada. Se plantar 28 kg, nas mesmas
circunstâncias, quanto colherá?
1. Identifique as razões contidas neste problema e
encontrará:
10kg:28kg e 1t:x;
2. Com estas razões, estabeleça a seguinte proporção:
10:28::1:x;
3. Neste problema, só há duas grandezas diretamente
proporcionais: quilograma e tonelada; por isso, a regra de
três é simples e direta e os termos das razões permanecem na
mesma posição;
4. Escreva 10 na 7ª classe do sorobã, 28 na 6ª e 1 na 5ª,
deixando a 4ª classe vaga, para representar o x;
5. Multiplique no lado direito do sorobã, os meios 28 e 1
e encontrará o produto 28;
6. Divida o produto 28 pelo extremo conhecido 10 e
encontrará o extremo desconhecido 2,8; escreva 2,8 em
relação ao ponto 3, para substituir o x.
Portanto, resposta do problema: x=2,8t (2,8 toneladas) ou
2t e 800kg (2 toneladas e 800 quilogramas).
2º Exemplo. Um comerciante vendeu 4 peças de
fazenda por R$900,00.
Quantas peças do mesmo preço deverá vender, a fim de
apurar R$4.500,00?
1. Identifique as razões contidas neste problema e
encontrará:
4:x e 900:4.500;
2. Com estas razões, estabeleça a seguinte proporção:
4:x::900:4.500;
Neste problema, só existem duas grandezas diretamente
proporcionais:
peças de fazenda e Reais; por isso, a regra de três é
simples e direta;
por conseguinte, os termos das razões permanecem na mesma
posição;
3. Escreva 4 na 7ª classe do sorobã 900 na 5ª e 4.500 na
4ª e 3ª classes, deixando a 6ª classe vaga, para representar
o x;
4. Multiplique no lado direito do sorobã, os extremos 4 e
4.500 e encontrará o produto 18.000;
5. Divida o produto 18.000 pelo meio conhecido 900 e
encontrará o meio desconhecido 20; escreva 20 na 6ª classe,
para substituir o x.
Portanto, resposta do problema: x=20 peças.
3º Exemplo. Um ônibus, viajando da cidade A para a
cidade B, fez o percurso em 4 dias, a uma velocidade média
de 60km-hora.
Na viagem de volta, dobrou a velocidade.
Quantos dias gastou da cidade B para a cidade A?
1. Identifique as razões contidas neste problema e
encontrará 60:120 e 4:x;
2. Com estas razões, estabeleça a seguinte proporção:
60:120::4:x;
Nesta proporção, há duas grandezas inversamente
proporcionais:
velocidade e dias; por isso, a regra de três é simples e
inversa;
3. Inverta os termos da razão da incógnita, estabelecendo
a seguinte proporção: 60:120::x:4;
4. Escreva no sorobã, 60 na 7ª classe, 120 na 6ª e 4 na
4ª, deixando a 5ª classe vaga para representar o x;
5. Multiplique no lado direito do sorobã, os extremos 60
e 4 e encontrará o produto 240;
6. Divida o produto 240 pelo meio conhecido 120 e
encontrará o meio desconhecido 2; escreva 2 na 5ª classe,
para substituir o x.
Portanto, resposta do problema: x=2 dias.
4º Exemplo. Um ônibus, viajando a uma velocidade
de 50km por hora, percorreu em 6 dias, a distância de
2.000km. Quantos km percorrerá em 3 dias, viajando a uma
velocidade de 75km por hora?
1. Identifique as razões contidas neste problema e
encontrará:
50:75, 6:3 e 2.000:x;
2. Com estas razões, estabeleça a seguinte proporção:
50:75::6:3::2.000:x;
Neste problema, há três grandezas diretamente
proporcionais:
velocidade, dias e distância; por isso, a regra de três é
composta e direta;
3. Transforme as razões de termos conhecidos em uma única
razão, multiplicando entre si antecedentes e conseqüentes e
encontrará a seguinte proporção de duas razões:
300:225::2.000:x;
4. Escreva no sorobã 300 na 7ª classe, 225 na 6ª e 2.000
na 5ª e 4ª, deixando a 3ª classe vaga, para representar o x;
5. Multiplique no lado direito do sorobã os meios 225 e
2.000 e encontrará o produto 450.000;
6. Divida o produto 450.000 pelo extremo conhecido 300 e
encontrará o extremo desconhecido 1.500; escreva 1.500 na 3ª
e 2ª classes, para substituir o x.
Portanto, resposta do problema: x=1.500km.
5º Exemplo. 120 operários, trabalhando 8 horas por
dia, construíram uma estrada em 90 dias. Em quantos dias 240
operários construiriam a mesma estrada, trabalhando 6 horas
por dia?
1. Identifique as razões contidas neste problema e
encontrará: 90:x, 8:6 e 120:240;
Esta regra de três é composta, porque tem 3 grandezas
proporcionais:
operários, horas e dias; é inversa, porque aumentando o
número de operários, diminuirá o número de dias e diminuindo
o número de horas, aumentará o número de dias;
2. Com estas razões, estabeleça a seguinte proporção:
90:x::8:6::120:240;
3. Transforme as razões de termos conhecidos em uma única
razão, multiplicando os antecedentes e os conseqüentes, e
chegará à seguinte proporção: 90:x::960:1.440;
4. Inverta os termos da razão da incógnita e encontrará:
x:90::960:1.440;
5. Escreva no sorobã: 90 na 6ª classe, 960 na 5ª e 1.440
na 4ª e 3ª, deixando a 7ª classe vaga, para representar o x;
6. Multiplique no lado direito do sorobã, os meios 90 e
960 e encontrará o produto 86.400;
7. Divida o produto 86.400 pelo extremo conhecido 1.440 e
encontrará o extremo desconhecido 60; escreva 60 na 7ª
classe, para substituir o x.
Portanto, resposta do problema: x=60 dias.
PROVA DA REGRA DE TRÊS
Para verificar a exatidão dos cálculos da regra de três,
considere a proporção final, depois de resolvida, e proceda
como na prova das proporções:
1. Calcule o produto dos extremos.
2. Calcule o produto dos meios.
Se ambos os produtos forem iguais, estarão certos os
cálculos da regra de três.
PORCENTAGEM
PRELIMINARES
1. Porcentagem é uma quantidade calculada à razão de 100
para determinada taxa.
Por conseguinte, podemos realizar os cálculos da
porcentagem através de uma proporção assim: 100:i::C:p (100
está para i assim como C está para p), cujos termos
significam:
100 - antecedente da 1ª razão, valor invariável;
i - conseqüente da 1ª razão, valor variável, indica a
taxa (o quanto em cada cem);
C - antecedente da 2ª razão, valor variável, indica o
principal (quantidade da qual se deseja calcular a
porcentagem);
p - conseqüente da 2ª razão, valor variável, indica a
porcentagem (o correspondente à taxa, em proporção com o
principal).
2. Qualquer dos 3 elementos - taxa, principal,
porcentagem -, pode estar oculto pela incógnita.
3. Quando a incógnita for i, escreveremos no lado
esquerdo do sorobã os termos conhecidos da proporção,
deixando a 6ª classe vaga, para representar o i; a seguir,
efetuaremos os cálculos da proporção, para encontrar a taxa.
4. Quando a incógnita for C, escreveremos no lado
esquerdo do sorobã os termos conhecidos da proporção,
deixando vaga a 5ª classe, para representar o C; a seguir,
efetuaremos os cálculos da proporção, para encontrar o
principal.
5. Quando a incógnita for p, escreveremos no lado
esquerdo do sorobã os termos conhecidos da proporção,
deixando vaga a 4ª classe, para representar o p; a seguir,
efetuaremos os cálculos da proporção, para encontrar a
porcentagem.
6. Para trabalhar com números mais baixos nos cálculos da
porcentagem, você poderá simplificar a razão de termos
conhecidos, desde que estes não sejam números primos ou
primos entre si.
7. Para encontrar 1% de qualquer quantidade, basta
dividir o número por 100:
7.1 Número inteiro - Retirar os dois algarismos da
direita, se forem 00; em caso contrário, separá-los com o
sinal decimal: 1% de 800 = 8; 1% de 305 = 3,05.
7.2 Número decimal - Deslocar o sinal decimal duas ordens
à esquerda: 1% de 345,6 = 3,456.
7.3 Fração ordinária - Acrescentar 00 ao denominador: 1%
de 4/9 = 4/900.
8. Para encontrar 10% de qualquer quantidade, basta
dividir o número por 10:
8.1 Número inteiro - Retirar o último algarismo da
direita, se for 0; em caso contrário, separá-lo pelo sinal
decimal: 10% de 690 = 69; 10% de 25 = 2,5.
8.2 Número decimal - Deslocar o sinal decimal uma ordem à
esquerda:
10% de 45,6 = 4,56.
8.3 Fração ordinária - Acrescentar 0 ao denominador: 10%
de 4/9 = 4/90.
9. Para maior segurança na aprendizagem das técnicas de
cálculo da porcentagem e treinamento de sua agilidade no
sorobã, repita a execução dos exemplos aqui apresentados,
elabore e execute outros exercícios deste cálculo.
PRÁTICA DO CÁLCULO
1º Exemplo. Calcular a porcentagem: 100:5::80:p.
1. Escreva 100, 5 e 80 respectivamente na 7ª, 6ª e 5ª
classes do sorobã, deixando a 4ª classe vaga, para
representar o p;
2. Multiplique os meios 5 e 80 no lado direito do sorobã,
e encontrará o produto 400;
3. Divida o produto 400 pelo extremo conhecido 100 e
encontrará o quociente 4, que é a porcentagem; escreva 4 na
4ª classe, para substituir o p.
Portanto, p = 4.
2º Exemplo. Calcular o principal: 100:16::C:64.
1. Escreva 100, 16 e 64, respectivamente na 7ª, 6ª e 4ª
classes, deixando a 5ª classe vaga para representar o C;
2. Multiplique os extremos 100 e 64 no lado direito do
sorobã, e encontrará o produto 6.400;
3. Divida o produto 6.400 pelo meio conhecido 16 e
encontrará o quociente 400, que é o principal; escreva 400
na 5ª classe, para substituir o C.
Portanto, C = 400.
3º Exemplo. Calcular a taxa: 100:i::250:20.
1. Escreva 100, 250 e 20 respectivamente na 7ª, 5ª e 4ª
classes, deixando a 6ª classe vaga para representar o i;
2. Multiplique os extremos 100 e 20 no lado direito do
sorobã, e encontrará o produto 2.000;
3. Divida o produto 2.000 pelo meio conhecido 250 e
encontrará o quociente 8, que é a taxa; escreva 8 na 6ª
classe, para substituir o i.
Portanto, i = 8.
Se você desejar trabalhar com números mais baixos,
simplifique a razão de termos conhecidos, obtendo, neste
exemplo, a seguinte proporção equivalente: 100:i::25:2;
Realizando os cálculos desta proporção, obterá o mesmo
resultado:
i=8.
4º Exemplo. Calcular 1% de 519, sem recorrer ao
processo das proporções.
1. Escreva 519 no lado esquerdo do sorobã;
2. Separe com o sinal decimal os dois algarismos da
direita, escrevendo 5,19 em relação ao ponto 1.
Portanto, 1% de 519 = 5,19.
5º Exemplo. Calcular 10% de 42,5, sem recorrer ao
processo das proporções.
1. Escreva 42,5 em relação ao ponto 6;
2. Desloque o sinal decimal uma ordem à esquerda,
escrevendo 4,25 em relação ao ponto 1.
Portanto, 10% de 42,5 = 4,25.
6º Exemplo. Calcular 10% de 2/5, sem recorrer ao
processo das proporções.
1. Escreva 2/5 em relação ao ponto 6;
2. Acrescente 0 ao denominador, escrevendo 2/50 em
relação ao ponto 1.
3. Simplifique 2/50 e encontrará 1/25.
Portanto, 10% de 2/5 = 1/25.
PROVA REAL DA PORCENTAGEM
Terminados os cálculos da porcentagem, de qualquer de
suas variáveis, para ter a certeza de sua exatidão, calcule:
1. O produto dos extremos.
2. O produto dos meios.
Se ambos os produtos forem iguais, estarão certos os
cálculos da porcentagem.
JUROS
PRELIMINARES
1. Juros são os rendimentos de um capital em proporção
percentual, relativamente ao tempo, durante certo período.
2. Nos cálculos de juros, por se tratar de percentual, o
número 100 é invariável e constante.
3. As quantias e quantidades variáveis são as seguintes:
j - juros - os rendimentos do capital c - capital - valor
que vai render os juros i - taxa - o quanto de rendimento em
cada 100 t - tempo - período de vigência dos juros M -
montante - capital adicionado aos juros
4. Nos cálculos de juros, há sempre uma incógnita.
5. Quando a incógnita é j, calculamos os juros através da
expressão: j=cit/100.
6. Quando a incógnita é c, calculamos o capital através
da expressão: c=100j/it.
7. Quando a incógnita é i, calculamos a taxa através da
expressão: i=100j/ct.
8. Quando a incógnita é t, calculamos o tempo através da
expressão: t=100j/ci.
9. Quando a incógnita é M, calculamos o montante através
da expressão: M=c+cit/100.
No cálculo do montante, procedemos assim:
9.1 Determinamos o valor do capital c;
9.2 Determinamos o valor dos juros j;
9.3 Adicionamos os dois valores.
O total encontrado será o montante.
10. É bom relembrar que, para multiplicar um número
inteiro por 100, basta acrescentar 00 a esse numero. Se for
número decimal, basta deslocar o sinal decimal duas ordens à
direita. Às vezes, este deslocamento transforma decimal em
número inteiro.
11. Para dividir um número inteiro por 100, basta retirar
os dois algarismos da direita, se forem 00; em caso
contrário, separá-los com o sinal decimal. Se o número for
decimal, deslocaremos o sinal decimal duas ordens à
esquerda.
12. Para maior segurança na sua aprendizagem dos cálculos
de juros no sorobã, repita a execução dos exemplos aqui
apresentados, elabore e execute outros exercícios destes
cálculos.
PRÁTICA DO CÁLCULO
1º Exemplo. Calcular os juros de R$2.346,00,
emprestados por um período de2 anos, à taxa de 5% ao mês.
1. Identifique os termos conhecidos e encontrará:
c=2.346 i=5 t=24 meses, porque, a taxa é mensal e o
período de investimento é 2 anos = 24 meses;
2. j=2.346x5x24/100;
3. Escreva 2.346 e 5 no lado esquerdo do sorobã como
multiplicandos e 24 no lado direito, como multiplicador, com
7 ordens vagas, porque são 5 os algarismos dos
multiplicandos e 2 os multiplicandos (5+2=7 ordens vagas);
4. Multiplique 2.346 por 24 e encontrará 56.304 com duas
ordens vagas;
5. Multiplique 5 por 56.304 e encontrará 281.520;
6. Divida o produto 281.520 por 100 e encontrará
2.815,20, que é o valor de j.
Portanto, j=R$2.815,20 (dois mil oitocentos e quinze
Reais e vinte Centavos).
2º Exemplo. Calcular o capital que, durante 1 ano
e 6 meses, rendeu R$72,00, à taxa de 2% ao mês.
1. Identifique os termos conhecidos e encontrará:
j=72;
100j=7.200;
i=2;
t=18 meses;
Portanto, c=7.200/(2*18)
2. Multiplique o 2 pelo 18 e encontrará 36 na 1ª classe
do sorobã;
3. Transfira o produto 36 para a 7ª classe e escreva no
lado direito do sorobã o valor de 100j, isto é, 7.200;
4. Divida 7.200 por 36 e encontrará o quociente 200, que
é o valor do capital.
Portanto, c=R$200,00 (duzentos Reais).
3º Exemplo. Calcular a taxa anual de um empréstimo
de R$2.000,00, que rendeu R$300,00 de juros, no período de 2
anos.
1. Identifique os termos conhecidos e encontrará:
j=300 100j=30.000 c=2.000 t=2
2. Multiplique 2.000 por 2 e encontrará 4.000 no lado
direito do sorobã;
3. Transfira o produto 4.000 para o lado esquerdo e
escreva no lado direito do sorobã o valor de 100j, isto é,
30.000;
4. Divida 30.000 por 4.000 e encontrará o quociente 7,5,
que é a taxa.
Portanto, i=7,5%.
4º Exemplo. Calcular o tempo em que o capital
R$3.000,00 rendeu de juros R$50,00, à taxa de 2% ao mês.
1. Identifique os termos conhecidos e encontrará:
j=50 100j=5.000 c=3.000 i=2
2. Multiplique 3.000 por 2 e encontrará o produto 6.000
no lado direito do sorobã;
3. Transfira o produto 6.000 para o lado esquerdo e
escreva no lado direito do sorobã o valor de 100j, isto é,
5.000;
4. Temos agora, no sorobã, um caso interessante de
divisão, dividendo < que divisor; neste caso, duas
alternativas de solução se apresentam: acrescentaremos 0 ao
dividendo para possibilitar a divisão e encontraremos o
quociente em número decimal ou, então, formaremos com os
termos da divisão uma fração ordinária, a qual será o
quociente procurado;
Optando pela segunda alternativa, teremos: quociente =
5.000/6.000, que é o tempo procurado;
5. Simplifique esta fração e encontrará 5/6;
Portanto, t=5/6 meses;
6. Calcule 5/6 do mês e encontrará 25 dias.
Portanto, solução final: t=25 dias.
5º Exemplo. Calcular em que tempo R$2.000,00
renderam R$ 50,00 de juros, à taxa de 1% ao mês.
1. Identifique os termos conhecidos e encontrará:
j=50 100j=5.000 c=2.000 i=1
2. Multiplique 2.000 por 1 e encontrará 2.000 no lado
direito do sorobã;
3. Transfira o produto 2.000 para o lado esquerdo e
escreva no lado direito do sorobã o valor de 100j, isto é,
5.000;
4. Divida 5.000 por 2.000 e encontrará o quociente 2,5,
que é o tempo procurado.
Portanto, t=2,5 meses ou 2 meses e 15 dias.
6º Exemplo. Calcular o montante. Um comerciante
comprou certa mercadoria por R$5.000,00 e, depois de 3
meses, a vendeu com um lucro de 5% ao mês.
Qual o montante?
1. Identifique o valor do capital e encontrará c=5.000;
2. Seguindo a dinâmica dos exemplos anteriores, calcule o
valor dos juros e encontrará j=750;
3. Adicione os dois valores e encontrará 5.750.
Portanto, M=R$5.750,00 (cinco mil e setecentos e
cinqüenta Reais).
7º Exemplo. Calcular o montante. Certo capital,
investido durante 4 anos, à taxa de 5% ao ano, rendeu
R$1.000,00 (um mil Reais).
Qual o montante?
1. Seguindo a dinâmica dos exemplos anteriores, calcule o
capital e encontrará c=5.000;
2. Registre o valor dos juros: j=1.000;
3. Adicione os dois valores e encontrará o total 6.000.
Portanto, M=R$6.000,00 (seis mil Reais).
IMPORTÂNCIA DO SISTEMA SOROBÃ NA ESTIMULAÇÃO
PSICOMOTORA
Visando promover o maior aproveitamento possível do
Sistema, lembramos neste capítulo as vantagens da Prática
Sorobã, também como valioso instrumento para a estimulação
psicomotora, tanto das pessoas não deficientes, quanto das
pessoas deficientes em qualquer idade, especialmente na
idade do desenvolvimento orgânico.
Através da estimulação, o sorobã pode contribuir para o
crescimento humano, do ponto de vista da atuação
psicomotora, do lazer, terapia e cultura.
Consideramos de urgente necessidade, que nossas escolas,
em geral, adotem o Sistema de Cálculo Sorobã, já na educação
básica.
O sorobã como instrumento de estimulação psicomotora,
oferece duas ordens de atividades:
1) Atividades extracálculos;
2) Atividades do cálculo.
As primeiras, aplicáveis aos iniciantes do sorobã, se
constituem de exercícios lúdico-pedagógicos para
familiarização com o aparelho, não incluindo aprendizagem
das técnicas de cálculo, em que crianças e adultos,
deficientes e não deficientes, podem conhecer o aparelho,
brincar com ele, manuseando suas contas, contando os pontos
da régua, contando os algarismos, contando as classes,
aprendendo a ler e escrever números, aprendendo a escrever
datas, números de telefone, etc.
Nestas atividades iniciais, já devemos estimular a ação
das duas mãos: a direita, atuando mais da borda direita ao
meio do sorobã e vice-versa; a esquerda, atuando mais da
borda esquerda ao meio do sorobã e vice-versa.
Os exercícios de contagem das classes e dos pontos podem
ser:
a) ordem crescente - mão direita;
b) ordem decrescente - mão esquerda;
c) ordem crescente - a mão direita, até o meio do sorobã
e a esquerda, do meio até a borda esquerda;
d) ordem decrescente - a mão esquerda, da borda esquerda
até o meio e a direita, do meio até a borda direita.
Os exercícios de contagem dos eixos e das contas podem
ser feitos, inicialmente com uma das mãos e, depois, com as
duas: a direita atuando no lado direito e a esquerda atuando
no lado esquerdo do sorobã.
As atividades do cálculo, aplicáveis no segundo estágio
de desenvolvimento dos aprendizes, incluem a iniciação e
prosseguimento na aprendizagem das técnicas de cálculo,
começando por exercícios simples, para continuar numa
gradação ascendente, conforme o desenvolvimento e a
capacidade de cada indivíduo.
Devidamente precedido das atividades lúdico-pedagógicas,
o cálculo sorobã leva a pessoa a trabalhar com as duas
mãos,ao mesmo tempo que vai falando as operações que
realiza, enquanto vivencia mentalmente todo o processo.
Esta atuação psicomotora-manubilateral favorece o
desenvolvimento da pessoa, estimulando a coordenação motora,
o raciocínio, a memória e a prontidão mental para a ação.
Pelo fato de estimular as funções intelectuais,
acredita-se que a Prática Sorobã pode minimizar os efeitos
da esclerose. Por que não utilizá-la também com esta
finalidade terapêutica?
Tudo isto justifica que O Sistema Sorobã seja utilizado
também como instrumento de estimulação psicomotora.
Os japoneses, bons conhecedores do valor do sorobã para a
estimulação, antevendo a necessidade de maior
desenvolvimento cerebral e maior ritmo mental do homem no
próximo milênio, por exigência de possíveis tecnologias cada
vez mais avançadas, já começam ensiná-lo às crianças a
partir dos três anos e meio de idade. Esta informação foi
prestada por uma professora japonesa, em entrevista na
televisão brasileira.
Como ficou esclarecido acima, as crianças podem ser
estimuladas a utilizar o sorobã em atividades
lúdico-pedagógicas, mesmo antes de iniciarem os estudos de
aritmética.
Saibamos criar situações em que o sorobã seja brinquedo e
lazer.
Podemos brincar de sorobã com as crianças, assim:
- Encostando na régua as continhas de baixo - Encostando
na régua as continhas de cima - Afastando da régua as
continhas de baixo - Afastando da régua as continhas de cima
- Contando os eixos - Contando as continhas dos eixos -
Contando os pontos da régua (ordem crescente e decrescente)
- Contando as classes (ordem crescente e decrescente)
Podemos estimular a memorização das crianças, com estas e
outras perguntas:
- Quantos pontos tem a régua?
- Quantas continhas tem cada eixo?
- Quantos eixos tem o sorobã?
- Que quer dizer a palavra sorobã?
- Que quer dizer a palavra ábaco?
- Quem adaptou o sorobã para uso dos cegos no Brasil?
No sorobã, podemos estabelecer competição entre
indivíduos e grupos:
- Realizando leitura e escrita coletiva de números, isto
é, passando de um aluno a outro, por exemplo, datas
importantes do aluno, da família, da escola, da Pátria;
- Um aluno escrevendo um número e outro escrevendo outro
número;
- Um aluno escrevendo para outro ler, etc.
Todas estas tarefas do sorobã e exercícios mentais a ele
referentes, podem ser aplicados também a adultos e idosos
iniciantes, segundo as necessidades, visando sempre lazer,
terapia, cultura.
Embora nos referindo, na maior parte deste livro , a
pessoas sem deficiência mental, reconhecemos a importância
das atividades lúdico-pedagógicas do sorobã, também para os
portadores dessa deficiência. É interessante que os
professores e demais especialistas da Área estejam atentos
para isto.
Estas atividades, independentes da aprendizagem das
técnicas de cálculo propriamente ditas, são úteis à
iniciação das pessoas portadoras de cegueira, de visão
subnormal, de deficiência auditiva, de deficiência mental,
das pessoas vítimas de AVC menos severo e de pessoas não
deficientes.
Toda esta prática recomendável ao atendimento da criança
e do adulto, deve ser adotada de acordo com a capacidade e o
desenvolvimento de cada indivíduo.
Professor:
Certamente você já promove atividades voltadas para o
desenvolvimento psicomotor de seus alunos.
Sugerimos que você inclua nessas atividades, o Sistema
Sorobã também como instrumento de estimulação psicomotora.
A criatividade dos mestres e demais especialistas
envolvidos na educação, será capaz de ampliar esta página do
Sistema Sorobã, que continua pouco explorada entre nós.
Já é tempo de explorarmos inteligentemente toda esta
riqueza do Sistema Sorobã, presente no campo da estimulação.
Está colocada aqui, portanto, a proposta de
descortinamento deste horizonte, o qual, muitas vezes, tem
passado despercebido.
METODOLOGIA DO ENSINO DE SOROBÃ
Para alcançar o êxito desejado no ensino de sorobã, é
necessário adotar um procedimento metodológico. Antes de
iniciar o ensino, é prudente uma sondagem do potencial
perceptivo e cognitivo do aluno. A pessoa que ainda não
tiver desenvolvida a sua capacidade de localização, com
noção clara de direita, esquerda, acima, abaixo, etc.,
necessita exercitar-se neste aspecto, para depois iniciar o
estudo das técnicas de cálculo.
Um bom esquema de trabalho no ensino do sorobã,
parece-nos resumir-se nos seguintes pontos:
1. Avaliação da capacidade de localização, da percepção
tátil, da visualização, da audição e do grau de
desenvolvimento pessoal do aluno, e subseqüente orientação e
treinamento no que for necessário. Esta avaliação será
realizada pelo professor, através da observação direta do
aluno.
2. Iniciar o ensino, pelo conhecimento do aparelho.
Conhecer o sorobã, significa tomar conhecimento de sua forma
e de seus componentes (régua, pontos da régua, contas,
eixos, classes, borracha), e saber algo de sua história,
sendo capaz de responder a estas perguntas: que é ábaco? que
quer dizer sorobã? quem adaptou o sorobã para uso dos cegos
no Brasil? que diferença há entre o sorobã e a calculadora
eletrônica?
3. Exercitar os alunos nas atividades lúdico-pedagógicas,
mencionadas no capítulo 24. Não esquecer que estas
atividades, por si, já constituem os primeiros exercícios de
estimulação psicomotora do Sistema Sorobã.
4. Ensinar a leitura e a escrita de números com as duas
mãos, isto é, a mão esquerda trabalhando da borda esquerda
até o meio do sorobã e a direita trabalhando do meio até a
borda direita. Consulte no capítulo 3, os exercícios para
treinamento das duas mãos. A escrita e a leitura de números
com as duas mãos neste aparelho, são condições básicas para
uma prática satisfatória do sistema, consoante às suas
peculiaridades e técnicas específicas, tendo as seguintes
vantagens:
4.1 Favorece a coordenação motora.
4.2 Facilita a sincronização rítmicca entre a operação
mental e a atuação manual.
4.3 Facilita a prática das operações diretamente do papel
para o sorobã, dando grande rapidez aos trabalhos de
cálculo.
5. Iniciar o ensino das técnicas de cálculo, começando
por exercícios os mais simples possíveis, seguindo depois
uma gradação ascendente, para exercícios mais complexos:
5.1 Exercícios de adição, com todos os termos no sorobã.
5.2 Exercícios de adição ditada, isto é, somente o total
no sorobã.
5.3 Exercícios de adição direta, isto é, as parcelas
escritas em Braille ou em tinta e no sorobã somente o total.
5.4 Exercícios de subtração, com todos os termos no
sorobã.
5.5 Exercícios de subtração ditada.
5.6 Exercícios de subtração direta.
5.7 Prosseguir, introduzindo as demais operações.
6. Ensinar as técnicas do sorobã, relacionando os
exercícios com fatos da vida real.
7. Repetir os exercícios, para melhor memorização das
técnicas e desenvolvimento da agilidade.
Em todo este procedimento, devemos estar atentos a
possíveis casos de aprendizagem lenta ou de maior
celeridade. Lentos e céleres, tanto quanto as pessoas de
ritmo comum, devem ser estimulados a uma rapidez maior em
sua atuação no sorobã, uma vez que este aparelho, por
natureza, inspira rapidez, e o progresso está sempre a
exigir maior e melhor produção, em menos tempo e menor
custo. A rapidez no sorobã é necessária e empolgante, mas
deve ser estimulada em atitude de atenção e paciência para
com as diferenças individuais.
Para ministrar cursos de sorobã a turmas de professores,
iniciantes ou que necessitem de atualização ou reciclagem na
matéria, elaboramos este Esquema:
CURSO DE SOROBÃ - 60 HORAS-AULA
-
CONTEÚDO PROGRAMÁTICO
-
-
1º Estágio - 20 horas-aula
-
- Exórdio: O Sistema Sorobã - Cálculo e Estimulação
Psicomotora
-
- Conhecimento do Sorobã - Escrita de Números no
Sorobã
-
- As Quatro Operações Fundamentais com Números
Inteiros e Decimais
-
-
2º Estágio - 20 horas-aula
-
- Fatoração
-
- Máximo Divisor Comum
-
- Mínimo Múltiplo Comum
-
- Numeração Fracionária
-
- As Quatro Operações com Frações Ordinárias
-
-
3º Estágio - 20 horas-aula
-
- Potenciação
-
- Radiciação
-
- Razões e Proporções
-
- Regra de Três
-
- Porcentagem
-
- Juros
Observações:
-
1. O 2º Estágio supõe o 1º; o 3º Estágio supõe o 1º
e o 2º.
-
2. Conforme a necessidade da turma alvo, podemos
ministrar o curso completo, abrangendo os três Estágios,
ou um curso menor, abrangendo um ou dois de seus
Estágios.
-
Versão Dosvox-Word Por Gabriel do Nascimento Soares
-
-
SOROBÃ APARELHO
DE CÁLCULO PARA CEGOS 1ª e 2ª EDIÇÕES JOAQUIM LIMA
DE MORAES FUNDAÇÃO PARA O LIVRO DO CEGO NO BRASIL -
SÃO PAULO
TÉCNICA DE CÁLCULO E DIDÁTICA DO SOROBÃ OLEMAR SILVA
DA COSTA JONIR BECHARA CERQUEIRA INSTITUTO BENJAMIN
CONSTANT - RIO DE JANEIRO
MATEMÁTICA - 1º GRAU BENEDITO CASTRUCCI JOSÉ RUI
GIOVANNI RONALDO G. PERETTI EDITORA FTD S/A.
CIÊNCIAS E EDUCAÇÃO AMBIENTAL - 15ª EDIÇÃO DANIEL
CRUZ EDITORA ÁTICA S.A. - SÃO PAULO
SEIS ESTUDOS DE PSICOLOGIA JEAN PIAGET FORENSE
UNIVERSITÁRIA - RIO DE JANEIRO
ϟ
O Sorobã para Todos/Gildo Soares da Silva.
GILDO SOARES DA SILVA
ASSISTENTE SOCIAL - CRESS
Olinda: Ed. do Autor. 1999.
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